Analysis

1078 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Beispiel 11.3.4. Jedes glatte Vektorraumbündel auf einer glatten Mannigfaltigkeit
ist in natürlicher Weise auch ein topologisches Vektorraumbündel.
Definition 11.3.5. Gegeben ein topologischer Raum X heißt ein Paar Y =
(Y, p) bestehend aus einem topologischen Raum Y und einer stetigen Abbildung
p : Y → X auch ein topologischer Raum über X. Gegeben
ein weiterer topologischer Raum Z = (Z, q) über X versteht man unter einer
stetigen Abbildung über X eine stetige Abbildung f : Y → Z mit
qf = p. Wir notieren die Menge aller dieser Abbildungen Top X(Y, Z), und
wenn wir sie mit der von C(Y, Z) induzierten Topologie als topologischen
Raum auffassen, notieren wir diesen Raum
CX(Y, Z)
Definition 11.3.6. Gegeben topologische Räume Y = (Y, p) und Z = (Z, q)
über einem topologischen Raum X definiert man ihr “faserweises Produkt”
oder Faserprodukt, einen weiteren topologischen Raum Y ×X Z über X,
durch die Vorschrift
Y ×X Z = {(y, z) ∈ Y × Z | p(y) = q(z)}
versehen mit der von der Produkttopologie induzierten Topologie und der
offensichtlichen Abbildung nach X.
11.3.7. Ein quadratisches Diagramm von topologischen Räumen der Gestalt
W
c
−→ Y
d ↓ ↓a
Z
b
−→ X
heißt kartesisch genau dann, wenn es gegeben ein topologischer Raum T
und stetige Abbildungen f : T → Y und g : T → Z mit af = bg genau eine
Abbildung h : T → W gibt mit ch = f und dh = g. Man sieht sofort, daß
das Quadrat
Y ×X Z −→ Y
↓ ↓a
Z
b
−→ X
mit den entsprechenden Projektionen als unbeschrifteten Pfeilen kartesisch
ist. Die universelle Eigenschaft liefert umgekehrt auch für jedes kartesische
Quadrat wie oben eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung i : Y ×X Z ∼ →
W mit ci = pr Y und di = pr Z, und die üblichen Argumente zeigen, daß sie
ein Homöomorphismus sein muß.