Analysis

16. STEINBRUCH UND SCHROTTHALDE 1149
horizontal genau dann, wenn mit den offensichtlichen vertikalen Abbildungen
das Diagramm
TX × G ∇A
−→ TX × TG
↓ ↓
TY × H ∇B
−→ TY × TH
kommutiert. Bezeichnet h l : H → H die Linksmultiplikation mit h ∈ H, so
wird das Differential d ˜ ψ von ˜ ψ gegeben durch die Vorschrift
d(x,g) ˜ ψ(v, w) = (dxψ(v), (df(x)ϕ(g) r ◦ dxf)(v) + (dϕ(g)f(x) l ◦ dgϕ)(w))
Wenden wir nun d(x,g) ˜ ψ an auf ∇A(v, g) = (v, (deg r ◦ A)(v)) und vergleichen
das Resultat mit unserem Ausdruck für ∇B(dxψ(v), f(x)ϕ(g)), so ergibt sich
als Horizontalitätsbedingung
df(x)ϕ(g) r ◦ dxf + dϕ(g)f(x) l ◦ dgϕ ◦ deg r ◦ A = de(f(x)ϕ(g)) r ◦ B ◦ dxψ
Beachten wir nun (f(x)ϕ(g)) r = ϕ(g) r ◦ f(x) r , also d(f(x)ϕ(g)) r = dϕ(g) r ◦
df(x) r , und beim mittleren Term f(x) l ◦ ϕ ◦ g r = ϕ(g) r ◦ f(x) l ◦ ϕ, also
df(x) l ◦ dϕ ◦ dg r = dϕ(g) r ◦ df(x) l ◦ dϕ, so können wir unsere Bedingung
umschreiben zu
(def(x) r ) −1 (dxf) + Ad f(x) ◦ deϕ ◦ A = B ◦ dxψ
Diese Gleichheit von Abbildungen TxX → TeH ist also die korrekte Verallgemeinerung
der Formel für die Transformation eines Zusammenhangs unter
der Eichgruppe, die man im Spezialfall ψ = id, ϕ = id erhält. Andererseits
sagt diese Formel auch, daß gegeben ein Zusammenhang auf dem trivialen
Bündel die g-wertige 1-Form des zurückgeholten Zusammenhangs gerade die
zurückgeholte 1-Form des ursprünglichen Zusammenhangs sein muss. Betrachten
wir speziell eine komplexe algebraische Gruppe G und holomorphe
Zusammenhänge auf dem trivialen G-Hauptfaserbündel über einer offenen
Teilmenge der komplexen Zahlenebene U ⊂◦ C und identifizieren solche Zusammenhänge
mit g-wertigen 1-Formen B(t) dt, so transformiert ein Element
der Eichgruppe f : U → G unseren Zusammenhang B(t) dt in
(dtf)f(t) −1 + (Ad f(t))B(t) dt
Hier haben wir wie üblich (dtf)f(t) −1 geschrieben für die Abbildung TtU →
Tf(t)G → TeG, die sich aus dem Differential von f bei t und dem Differential
der Rechtsmultiplikation mit f(t) −1 zusammensetzt.