Analysis

1. FUNKTIONENRÄUME UND FOURIERREIHEN 635
1 Funktionenräume und Fourierreihen
1.1 Lebesgue-Integral vektorwertiger Funktionen
Definition 1.1.1. Sei (X, M, µ) ein Maßraum und V ein endlichdimensionaler
reeller Vektorraum. Eine Abbildung f : X → V heißt integrierbar genau
dann, wenn sie meßbar ist und für eine und jede Norm auf V gilt f < ∞.
Unter diesen Umständen erklären wir das Integral unserer Funktion f als
den eindeutig bestimmten Vektor
v = f = f(x)µ〈x〉
mit der Eigenschaft λ(v) = λ(f(x))µ〈x〉 für jede Linearform λ : V → R.
Um die Existenz und Eindeutigkeit von v zu zeigen, können wir etwa V = R n
annehmen und müssen nur prüfen, daß dann das komponentenweise Integral
den einzig möglichen Vektor v mit den angeführten Eigenschaften liefert. Das
ist leicht zu sehen.
1.1.2. In III.1.3.3 hatten wir eine andere Verallgemeinerung des Integrationsbegriffs
besprochen, zu einem Integral für stetige Funktionen auf kompakten
reellen Intervallen mit Werten in Banachräumen. Auf ihrem gemeinsamen
Definitionsbereich, also für stetige Funktionen auf kompakten reellen
Intervallen mit Werten in endlichdimensionalen Banachräumen, liefern unsere
beiden Verallgemeinerungen offensichtlich dasselbe Integral. Eine weitere
Verallgemeinerung wird in VI.11.8.7 besprochen.
Übung 1.1.3. Unsere Sätze über dominierte Konvergenz und Integration auf
Produkträumen gelten unverändert auch für vektorwertige Funktionen. Für
jede lineare Abbildung Λ : V → W in einen weiteren endlichdimensionalen
reellen Vektorraum gilt die Formel (Λ ◦ f) = Λ f .
Übung 1.1.4. Nimmt eine integrierbare Abbildung f : X → V mit Werten in
einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum nur endlich viele Werte an,
so haben wir
f(x)µ〈x〉 =
µ(f −1 (v)) v
X
Übung 1.1.5. Gegeben eine integrierbare Abbildung f : X → V mit Werten
in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum gilt für jede Norm auf V
die Abschätzung
f
≤
f
Hinweis: Man zeige das zunächst für meßbare Stufenfunktionen und argumentiere
dann mit dem Satz über dominierte Konvergenz.
X
v=0