Analysis

652 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Eigenschaft, daß es für jedes z = exp(b) ∈ U genau eine Wurzel in V gibt,
als da heißt genau ein w := √ z ∈ V mit w 2 = z, nämlich w = exp(b/2).
Insbesondere besitzt also jedes z ∈ V genau eine Wurzel in V. Gegeben ein
stetiger Gruppenhomomorphismus ϕ : R → C × finden wir nun sicher ein
ε > 0 mit ϕ([−ε, ε]) ⊂ V und ein b ∈ B(0; r/2) mit ϕ(ε) = exp(b). Es folgt
ϕ(ε/2) = exp(b) = exp(b/2)
und induktiv ϕ(ε/2 n ) = exp(b/2 n ) für alle n ∈ N. Setzen wir a = b/ε,
so gilt mithin ϕ(t) = exp(at) erst für alle t = ε/2 n , aber da beide Seiten
Gruppenhomomorphismen sind, dann auch für alle t = mε/2 n mit m ∈ Z,
und da beide Seiten stetig sind, damit schließlich auch für alle t ∈ R.
Übung 1.6.4. Bezeichne S 1 die Gruppe aller komplexen Zahlen der Norm
Eins. Man zeige, daß jeder stetige Gruppenhomomorphismus S 1 → C × die
Gestalt z ↦→ z n hat für genau ein n ∈ Z. Hinweis: 1.6.2.
Übung 1.6.5. Man konstruiere eine Bijektion zwischen der Menge aller stetigen
Gruppenhomomorphismen (S 1 ) m → (S 1 ) n und der Menge M(n × m; Z)
aller (n × m)-Matrizen mit ganzzahligen Einträgen. Hinweis: 1.6.4.
Übung 1.6.6. Gegeben λ ∈ C und ε ∈ {0, 1} betrachten wir den Gruppenhomomorphismus
ρλ,ε : R × → C × mit ρλ,ε(x) = |x| λ (sgn(x)) ε . Man zeige,
daß wir so genau alle stetigen Gruppenhomomorphismen R × → C × erhalten.
Hinweis: Man beachte R × {1, −1} ∼ → R>0 × {1, −1} ∼ → R × vermittels
(exp × id) bzw. der Multiplikation und wende 1.6.2 an.
1.6.7. Die Gruppenhomomorphismen von einer abelschen Gruppe G in die
multiplikative Gruppe C × der komplexen Zahlen heißen ganz allgemein die
Charaktere von G und die Gruppenhomomorphismen in die Kreislinie S 1 ⊂
C × die unitären Charaktere von G. Ein stetiger Charakter der Kreislinie
S 1 ist automatisch unitär, da sein Bild eine kompakte Untergruppe von C ×
sein muß und jede kompakte Untergruppe von C × bereits in S 1 enthalten ist.
Definition 1.6.8. Ein Borelmaß µ auf der Kreislinie K = S 1 , das unter Drehung
invariant ist, heißt auch ein Haar-Maß auf der Kreislinie. In Formeln
fordern wir von einem Haarmaß auf der Kreislinie also
µ(A) = µ(zA)
für alle z ∈ K und alle Borelmengen A ⊂ K.
Satz 1.6.9 (Fourierreihen über Charaktere). Es gibt genau ein Haarmaß
auf der Kreislinie, das der ganzen Kreislinie das Maß Eins zuordnet,
und die stetigen Charaktere bilden eine Hilbertbasis des Raums der in Bezug
auf dieses Maß quadratintegrierbaren Funktionen.