Analysis

104 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Definition 1.4.15. Mit einem endlichen Dezimalbruch wie 3,141 bezeichnet
man wie auf der Schule die rationale Zahl 3141/1000. Die durch einen unendlichen
Dezimalbruch wie 3,1415 . . . dargestellte reelle Zahl definieren
wir als das Supremum der Menge aller ihrer endlichen Teilausdrücke bzw.
das Infimum, wenn ein Minus davorsteht. Wir setzen also zum Beispiel
3,1415 . . . = sup
⎧
⎪⎨
⎪⎩
3
3,1
3,14
3,141
3,1415
. . .
wo wir die Elemente der Menge aller endlichen Teilausdrücke der Übersichtlichkeit
halber untereinander geschrieben haben statt sie durch Kommata
zu trennen und rationale Zahlen stillschweigend identifiziert haben mit ihren
Bildern in R.
Proposition 1.4.16. 1. Jede reelle Zahl läßt sich durch einen unendlichen
Dezimalbruch darstellen.
2. Genau dann stellen zwei verschiedene unendliche Dezimalbrüche dieselbe
reelle Zahl dar, wenn es eine Stelle vor oder nach dem Komma
gibt und eine von Neun verschiedene Ziffer z derart, daß die beiden
Dezimalbrüche bis zu dieser Stelle übereinstimmen, ab dieser Stelle
jedoch der eine die Form z99999 . . . hat und der andere die Form
(z + 1)00000 . . ..
Beweis. Für den ersten Teil reicht es zu zeigen, daß sich jede nichtnegative
reelle Zahl y ≥ 0 als ein unendlicher Dezimalbruch darstellen läßt. Nehmen
wir zu jedem s ∈ N die größte reelle Zahl rs ≤ y unter y mit höchstens s
Stellen nach dem Komma, so gilt
y = sup{r0, r1, r2, . . .}
In der Tat ist y eine obere Schranke dieser Menge, aber jede reelle Zahl
x < y ist keine obere Schranke dieser Menge: Nach 1.4.13 oder, genauer,
seinem Beweis gibt es nämlich für jedes x ∈ R mit x < y ein s ∈ N und ein
m ∈ Z mit x < m · 10 −s < y, als da heißt, es gibt ein s mit x < rs. Den
zweiten Teil überlassen wir dem Leser zur Übung.
Ergänzung 1.4.17. Ich will die Gleichheit 1 = 0,999 . . . auch noch im Dedekind’schen
Modell der reellen Zahlen erläutern und beginne dazu mit der
⎫
⎪⎬
⎪⎭