Analysis

4. UMKEHRSATZ UND ANWENDUNGEN 473
5 und setzen wieder Vp = φ(Up). Da supp f kompakt ist, finden wir nach
II.6.10.3 eine endliche Teilmenge E ⊂ U mit supp f ⊂
p∈E Vp. Jetzt benutzen
das im Anschluß formulierte und bewiesene technische Lemma 4.4.10,
wählen wir für unsere endliche Überdeckung von supp f = K durch die Vp
mit p ∈ E eine angepaßte Teilung der Eins αp und schreiben
f =
αpf
p∈E
Die Summanden αpf sind dann stetig mit kompaktem in Vp enthaltenem
Träger. Nach der Wahl der Vp haben wir nun αpf = ((αpf)◦φ) |det dφ| für
alle p ∈ E, und addieren wir diese Gleichungen, so ergibt sich wie gewünscht
f = (f ◦ φ) |det dφ|
Lemma 4.4.10 (Teilung der Eins). Ist K ⊂ R n kompakt und sind V1, . . . ,
Vr ⊂◦ R n offen mit K ⊂ Vi, so gibt es stetige Funktionen αi : R n → [0, 1]
mit kompaktem, jeweils in Vi enthaltenen Träger derart, daß gilt
r
αi(x) = 1 ∀x ∈ K
i=1
4.4.11. Eine derartige Familie von Funktionen αi heißt eine an die gegebene
Überdeckung von K angepaßte Teilung der Eins.
Beweis. Wir wählen für jedes x ∈ K ein j = j(x) mit x ∈ Vj und eine stetige
Funktion ϕx : Rn → [0, ∞) mit kompaktem, in Vj enthaltenem Träger, die
bei x nicht verschwindet, in Formeln ϕx(x) > 0. Die Nx := ϕ −1
x (R>0) sind
natürlich offen in R n und überdecken K und wir haben N x ⊂ Vj(x). Da K
kompakt ist, finden wir E ⊂ K endlich mit K ⊂
x∈E Nx. Dann bilden wir
ψ =
x∈E
Diese Funktion ist stetig auf ganz Rn , nimmt auf N =
x∈E Nx positive
Werte an, und verschwindet außerhalb von N. Nun betrachten wir für jedes
x ∈ E auf der offenen Menge N die stetige Funktion ψx = ϕx/ψ. Natürlich
gilt
x∈E ψx(z) = 1 nicht nur für alle z ∈ K, sondern sogar für alle z ∈ N,
und ψx verschwindet außerhalb von Nx. Als nächstes konstruieren wir eine
stetige Funktion β : Rn → [0, 1], die auf K konstant Eins ist und deren
Träger in N enthalten ist. Ist zum Beispiel m das Minimum von ψ auf K,
so erhalten wir ein mögliches β, indem wir setzen β = h ◦ ψ für h : R → R
ϕx