Analysis

1. FUNKTIONENRÄUME UND FOURIERREIHEN 641
1.3.6. Wir erinnern aus II.4.3.22 und II.4.3.23 zwei im folgenden nützliche
Ungleichungen: Gegeben reelle Zahlen a, b ≥ 0 und p, q > 1 mit 1 1 + = 1
p q
folgt die Young’sche Ungleichung ab ≤ p −1 a p + q −1 b q aus der Konvexität
der Exponentialfunktion und die Ungleichung (a + b) p ≤ 2 p−1 (a p + b p ) aus
der Konvexität der Funktion [0, ∞) → R, x ↦→ x p .
Beweis. Sicher gilt αfp = |α|fp und aus fp = 0 folgt f = 0 fast
überall mit 1.2.2. Daß L p stabil ist unter der Addition ist im Fall p = ∞ eh
klar. In den anderen Fällen gehen wir aus von 1.3.6 und folgern
|f + g| p ≤ (|f| + |g|) p ≤ 2 p−1 (|f| p + |g| p )
Um schließlich zu zeigen, daß p ein Norm auf L p ist, müssen wir weiter
ausholen. Wir dürfen sicher p > 1 annehmen und finden dann q > 1 mit
1 1 + = 1 alias p + q = pq. Solche p, q heißen konjugierte Exponenten aus
p q
(1, ∞). Nach 1.3.6 gilt für reelle a, b > 0 dann
ab ≤ ap
p
+ aq
q
Aus f ∈ L p und g ∈ L q folgt mithin fg ∈ L 1 . Wir behaupten unter diesen
Annahmen sogar stärker die Hölder-Ungleichung
fg1 ≤ fpgq
und auch das folgt im Fall fp = gq = 1 sofort aus unserer obigen Ungleichung
und im allgemeinen durch Reskalierung. Gegeben p > 1 und f, g ∈ L p
zeigen wir nun schließlich f + gp ≤ fp + gp. Ohne Beschränkung der
Allgemeinheit dürfen wir f und g nichtnegativ und nicht fast überall Null
annehmen. Setzen wir h = (f +g) p−1 , so ergibt sich h q = (f +g) p , also h ∈ L q
und wir haben
Beachten wir nun hq = f + g (p/q)
p
so ergibt sich die Behauptung.
f + g p p = (f + g)h1
≤ fh1 + gh1
≤ fphq + gphq
und teilen das auf beiden Seiten weg,
1.3.7. Man bezeichnet etwas allgemeiner als im vorherigen Beweis eingeführt
auch 1 und ∞ als konjugierte Exponenten. Ist nun (X, µ) ein Maßraum
und sind p, q ∈ [1, ∞] konjugierte Exponenten, so folgt aus f ∈ L p und
g ∈ L q immer noch fg ∈ L 1 und fg1 ≤ fpgq. In der Tat hatten
wir das für p, q ∈ (1, ∞) bereits im vorhergehenden Beweis gesehen, und im
verbleibenden Fall ist es eh klar.