Analysis

1246 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
eine Integralkurve des Vektorfeldes ζ ist. In der Tat haben wir
ˇγ ′ (t) = (1, (j ◦ ˜γ) ′ (t))
Da aber nun der Kern des Differentials der Projektion (d(t,v) pr) : R × E →
R × Tγ(t)M sich gerade zu 0 × (Tγ(t)M) ⊥ ergibt, ist in der Tat ˜γ infinitesimal
parallel genau dann, wenn ˇγ eine Integralkurve von ζ ist. Offensichtlich
ist weiter die Summe je zwei infinitesimal paralleler Lifts ˜γ, ˆγ von γ wieder
infinitesimal parallel und für λ ∈ R ist mit ˜γ auch λ˜γ infinitesimal parallel.
Daraus können wir folgern, daß für jede Trivalisierung γ ∗ (TM) ∼ → I × R d des
zurückgeholten Tangentialbündels als glattes Vektroraumbündel unser Vektorfeld
ζ verwandt ist zu einem Vektorfeld der Gestalt (t, v) ↦→ (1, (A(t))(v))
mit A : I → End(R d ) einer glatten Abbildung. Das infinitesimal parallele Liften
bedeutet also das Lösen einer homogenen linearen Differentialgleichung,
und damit folgt die Existenz und Eindeutigkeit von “im infinitesimalen Sinne
parallelen Lifts”aus dem Existenz-und Eindeutigkeitssatz IV.5.3.1 für Lösungen
homogener linearer Differentialgleichungen.
Wir zeigen nun noch, daß infinitesimal parallele Lifts auch in der Tat
parallel im Sinne von 3.13.2 sind. Seien dazu a ≤ b in I und w[a] ∈ Tγ(a)M
fest gewählt. Sicher finden wir eine obere Schranke B für die Normen ζ(t,v)
der Vektoren unseres Vektorfelds ζ auf dem Kompaktum K = {(t, v) ∈
γ ∗ (TM) | t ∈ [a, b], v ≤ w[a]}, wobei die Normen in E bzw. in R × E
zu verstehen sind, im letzteren Fall als Produktnorm. Für jeden infinitesimal
parallelen Lift ˜γ von γ, dessen Werte in E höchstens dieselbe Norm haben
wie w[a], gilt nach dem Schrankensatz II.7.2.14 für a ≤ t ≤ s ≤ b also schon
mal
(t, ˜γ(t)) − (s, ˜γ(s)) ≤ B(t − s)
in der Produktnorm auf R × E. Für jedes ε > 0 gibt es weiter ein δ > 0 mit
(t, v) − (s, w) ≤ δ ⇒ ζ(t,v) − ζ(s,w) ≤ ε
für alle (t, v), (s, w) ∈ K. Wählen wir also η1 mit 0 < η1 < δ/B, so folgt aus
|s − t| < η1 und jeden infinitesimal parallelen Lift ˜γ, dessen Werte höchstens
dieselbe Länge wie w[a] haben, zunächst
(t, ˜γ(t)) − (s, ˜γ(s)) < δ
und dann mit dem Schrankensatz II.7.2.14 sogar
(t, ˜γ(t)) + (s − t)ζ(t,˜γ(t)) − (s, ˜γ(s)) ≤ (s − t)ε
Andererseits betrachten wir unsere faserweise orthogonale Projektion
pr : I × E → γ ∗ (TM)