Analysis

1184 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
Der Kartenwechsel ergibt sich mit etwas Rechnen als die Abbildung
ϕ = ϕ−+ : R 2 \0 → R 2 \0
(x, y) ↦→ 1
x 2 +y 2 (x, y)
Eine 2-Form auf R 2 hat die Gestalt fdx∧dy für eine wohlbestimmte Funktion
f : R 2 → R. Holen wir sie zurück mit unserem Kartenwechsel, so ergibt sich
x2 +y2 y
) ∧ d( x2 +y2 )
= − f◦ϕ
(x2 +y2 ) 2 dx ∧ dy
ϕ ∗ (fdx ∧ dy) = (f ◦ ϕ)d( x
Eine 2-Form auf der Kugelschale S 2 anzugeben bedeutet also nichts anderes,
als zwei Funktionen f± : R 2 → R anzugeben mit
1
f+(x, y) = −
(x2 + y2 )
2 f−(
x
x2 y
,
+ y2 x2 )
+ y2 für so ein Funktionenpaar gibt es eben genau eine 2-Form ω auf S 2 mit
ϕ ∗ ±ω = f±dx ∧ dy.
Jetzt wollen wir schließlich in einem letzten Schritt unsere Mannigfaltigkeiten
von ihren Einbettungen befreien.
Definition 1.6.3. Eine n-Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorffraum M mitsamt
einer Familie (Wα, ϕα) von Paaren bestehend aus einer offenen Teilmenge
Wα ⊂◦ R n und einer Abbildung ϕα : Wα → M, den Definitionskarten von
M, derart, daß gilt:
1. Die Abbildungen ϕα sind offene stetige Injektionen.
2. Die Kartenwechsel ϕ −1
β ◦ϕα = ϕβα : Wαβ → Wβα für Wαβ = ϕ −1
α (ϕβ(Wβ))
sind C ∞ -Abbildungen.
1.6.4. In der Literatur werden oft zusätzliche Bedingenen an die Topologie
einer Mannigfaltigkeit gestellt, meist Parakompaktheit oder Separabilität.
Wir werden solche Zusatzbedingungen stets explizit erwähnen.
Definition 1.6.5. Eine p-Form ω auf einer Mannigfaltigkeit M ist eine Familie
ωα von p-Formen auf den Definitionskarten Wα derart, daß für alle
Kartenwechsel gilt ωβ = ϕ ∗ αβ ωα. Eine p-Form ω heißt stetig, differenzierbar,
C ∞ etc. genau dann, wenn alle ωα es sind.
Wir bezeichnen mit Ωp (M) den Raum aller C∞-p-Formen auf M und
mit Ω p
C (M) den Unterraum aller beliebig oft differenzierbaren p-Formen mit
kompaktem Träger.
Satz 1.6.6. Definition Integral.