Analysis

3. STETIGKEIT 159
3.3.10. Der Grenzwert einer Funktion für x → p hängt nur von ihrem Verhalten
in einer Umgebung von p ab. Ist genauer p ∈ R Häufungspunkt einer
Teilmenge D ⊂ R und f : D\p → R eine Funktion und U eine Umgebung
von p, so existiert limx→p f genau dann, wenn limx→p f|U∩D\p existiert, und
unter diesen Umständen stimmen die beiden Grenzwerte überein.
Proposition 3.3.11 (Grenzwerte und Stetigkeit). Sei D ⊂ R eine Teilmenge
und p ∈ D ein Häufungspunkt von D und f : D\p → R eine Funktion.
Genau dann gilt limx→p f(x) = b für ein b ∈ R, wenn die Fortsetzung von f
auf D durch f(p) = b stetig ist bei p.
Beweis. Das folgt sofort aus unseren Definitionen 3.1.3 und 3.3.6.
3.3.12. In anderen Worten ist eine Funktion f : D → R stetig bei einem Häufungspunkt
p ∈ D von D genau dann, wenn gilt limx→p f(x) = f(p). Salopp
gesprochen verhält es sich demnach so, daß eine Funktion mit einer einpunktigen
Definitionslücke an einem Häufungspunkt ihres Definitionsbereichs auf
höchstens eine Weise stetig in diese Definitionslücke hinein fortgesetzt werden
kann. Der Wert dieser an besagter Stelle stetigen Fortsetzung heißt dann
der Grenzwert unserer Funktion an besagter Stelle.
Beispiel 3.3.13. Wir zeigen limx→∞ 1/x = 0. In der Tat, für jede Umgebung
W von 0 gibt es ε > 0 mit (−ε, ε) ⊂ W, und nehmen wir als Umgebung W ′
von ∞ die Menge W ′ = (1/ε, ∞], so gilt offensichtlich x ∈ W ′ ⇒ 1/x ∈ W.
Alternativ können wir auch wie folgt argumentieren: Die Funktion [0, ∞] →
[0, ∞] mit x ↦→ 1/x für 0 < x < ∞ und 0 ↦→ ∞ und ∞ ↦→ 0 ist streng monoton,
deshalb ist nach 3.2.2 ihre Umkehrfunktion stetig. Die Umkehrfunktion
fällt aber in diesem Fall mit der Funktion selbst zusammen. Also ist unsere
Funktion stetig und mit 3.3.11 folgt limx→∞ 1/x = 0.
Übung 3.3.14 (Rechenregeln für Grenzwerte). Sei D ⊂ R eine Teilmenge
und p ∈ D ein Häufungspunkt und seien f, g : D\p → R reellwertige Funktionen
mit reellen Grenzwerten limx→p f(x) = b und limx→p g(x) = c. So gilt
limx→p(f + g)(x) = b + c und limx→p(fg)(x) = bc.
Übung 3.3.15 (Quetschlemma). Sei D ⊂ R eine Teilmenge und p ∈ D ein
Häufungspunkt und seien f, g, h : D\p → R Funktionen mit f(x) ≤ g(x) ≤
h(x) für alle x ∈ D\p. So folgt aus limx→p f(x) = b = limx→p h(x) schon
limx→p g(x) = b.
Beispiel 3.3.16. Aus dem Quetschlemma 3.3.15 und der Darstellung von e x
durch die Exponentialreihe folgt limx→∞ e x = ∞. Aus 3.3.11 und 3.2.2 folgt
dann limy→∞ log y = ∞. Das Quetschlemma mit der Darstellung von e x duch
die Exponentialreihe liefert auch limx→∞(x/ e x ) = 0 und durch Substitution
x = log y und 3.3.11 und 3.1.6 folgt dann limy→∞(log y/y) = 0.