Analysis

6. STRUKTUR KOMPAKTER LIEGRUPPEN 951
aller Matrizen, denen nur in Zeile i und Spalte j ein von Null verschiedener
Eintrag erlaubt ist.
Satz 6.4.8 (Klassifikation der kompakten Liegruppen). Ordnen wir
jeder zusammenhängenden kompakten Liegruppe die Charaktergruppe eines
maximalen Torus zu mitsamt der Operation der zugehörigen Weylgruppe und
dem zugehörigen Wurzelsystem, so erhalten wir eine Bijektion auf Isomorphieklassen
Zusammenhängende
kompakte Liegruppen
∼→
Endliche Gitterspiegelungsgruppen
mit stabiler Wurzelwahl
G ↦→ W(G, T ) X(T ) ⊃ R(G, T )
6.4.9. Da nach 6.1.7 je zwei maximale Tori einer kompakten Liegruppe zueinander
konjugiert sind, hängt unsere Abbildung nicht von der Wahl eines
maximalen Torus ab. Im folgenden zeigen wir zunächst nur, daß die im Satz
erklärte Abbildungsvorschrift in der Tat eine Abbildung zwischen den angegebenen
Mengen liefert. Wendet man genauer 6.3.9 auf die adjungierte
Darstellung an, so folgt schon mal, daß die Weylgruppe die Wurzeln permutiert.
Weiter zeigt Proposition 6.4.18, daß jede Wurzel des Wurzelsystems
auch Wurzel zu genau einer durch ein Element der Weylgruppe gegebenen
Spiegelung auf der Charaktergruppe des maximalen Torus ist. Dann zeigt
6.4.29, daß die Spiegelungen zu Wurzeln die Weylgruppe erzeugen und daß
keine anderen Elemente der Weylgruppe als Gitterspiegelungen auf der Charaktergruppe
des maximalen Torus operieren.
Beispiel 6.4.10. Wir setzen die in 6.4.7 begonnene Diskussion des Falls G =
U(n) fort. Die Spiegelung zur Wurzel εi − εj entspricht unter der offensichtlichen
Identifikation W ∼ → Sn der Transposition (i, j), und in der Tat erzeugen
diese Transpositionen die symmetrische Gruppe. Die zugehörige Kowurzel
entspricht der Abbildung S 1 → T gegeben durch
z ↦→ diag(1, . . . , z, . . . , z −1 , . . . , 1)
mit einem z an der i-ten Stelle, einem z −1 an der j-ten Stelle und Einsen
sonst. In der Notation ε ∗ i : z ↦→ diag(1, . . . , z, . . . , 1) mit einem z an der i-ten
Stelle hat die Kowurzel zur Wurzel α = εi − εj also die Gestalt α ∨ = ε ∗ i − ε ∗ j.
Übung 6.4.11. Man zeichne das Charaktergitter mit Wurzelsystem und zugehörigen
Spiegelebenen der Weylgruppe für die kompakten zusammenhängenden
Liegruppen SU(3) und SO(4).