Analysis

1346 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
Übung 1.4.11. Das in 1.4.10 erklärte Wegintegral bleibt in Verallgemeinerung
von 1.3.11 gleich bei beliebiger stetiger Umparametrisierung unseres Weges.
Es ändert in Verallgemeinerung von 1.3.12 sein Vorzeichen bei einer Änderung
der Durchlaufrichtung des Weges, wir dürfen wie in 1.3.10 stückweise
integrieren, und das Integral über einen geschlossenen Weg von einer Funktion
mit Stammfunktion verschwindet.
Satz 1.4.12 (Homotopieinvarianz des Wegintegrals). Die Wegintegrale
einer holomorphen Funktion über je zwei in ihrem Definitionsbereich homotope
Wege stimmen überein.
1.4.13. Der Cauchy’sche Integralsatz 1.4.3 folgt sofort, da ein zusammenziehbarer
Weg ja per definitionem homotop ist zu einem konstanten Weg, und
da Wegintegale über konstante Wege offensichtlich verschwinden.
Erster Beweis. Sei f : U → C unsere holomorphe Funktion und h : [0, 1] 2 →
U eine Homotopie zwischen unseren Wegen, die wir ohne Beschränkung der
Allgemeinheit normiert annehmen dürfen. Mit denselben Argumenten wie
beim Beweis des Integralsatzes 1.4.3 sehen wir, daß wir unser Quadrat so
in kleine “Schachfelder” unterteilen können, daß jedes dieser Felder unter h
ganz in einer in U enthaltenen offenen Kreisscheibe landet. Bezeichnet ρi,j
die Randwege dieser Felder, so verschwindet das Wegintegral über jeden der
Wege h ◦ ρi,j, da unsere Funktion auf Kreisscheiben ja nach 1.4.8 jeweils
eine Stammfunktion hat. Die Summe der Wegintegrale über die h ◦ ρi,j ist
aber offensichtlich gerade die Differenz der Wegintegrale über unsere beiden
ursprünglichen homotopen Wege.
Zweiter Beweis. Alternativ könnten wir auch wie beim Beweis von IV.3.6.10
vorgehen. Das hat den Vorteil, daß wir keine Integrale über allgemeine stetige
Wege zu diskutieren brauchen, aber dafür braucht die Argumentation einen
zusätzlichen Schritt: Wir gehen erst von unseren ursprünglichen Wegen zu
approximierenden Polygonzügen über und betrachten dann statt den möglicherweise
nicht mehr differenzierbaren “ganz kleinen” Wegen h◦ρi,j die “ganz
kleinen” Wege, die zwischen den Bildern unter h der Ecken unserer kleinen
Schachfelder gerade verlaufen.
Proposition 1.4.14 (Stammfunktionen holomorpher Funktionen).
Jede holomorphe Funktion mit wegweise einfach zusammenhängendem Definitionsbereich
besitzt eine auf dem ganzen Definitionsbereich definierte Stammfunktion.
Beweis. Nach 1.3.13 müssen wir nur zeigen, daß das Wegintegral unserer
Funktion über jeden geschlossenen Weg verschwindet. Nach Annahme ist