Analysis

398 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Übung 3.1.22. Verwandschaft ist verträglich mit dem Bilden von Produkten
von Funktionen. Verwandschaft ist verträglich mit dem Bilden des Produkts
von Funktionen und Vektorfeldern, in Formeln folgt aus Verwandschaften
φ : g ❀ f und φ : A ❀ B also φ : gA ❀ fB oder anders geschrieben folgt
aus φ : A ❀ B bereits φ : (f ◦ φ)A ❀ fB. Verwandschaft ist verträglich mit
dem Bilden des Produkts von Funktionen und Kovektorfeldern, in Formeln
folgt aus φ : g ❀ f und φ : η ❀ ω also φ : gη ❀ fω oder anders geschrieben
gilt φ ∗ (fω) = (f ◦ φ)φ ∗ ω. Schließlich ist Verwandschaft auch verträglich mit
dem Auswerten von Kovektorfeldern auf Vektorfeldern, in Formeln folgt aus
φ : η ❀ ω und φ : A ❀ B also φ : 〈η, A〉 ❀ 〈ω, B〉 alias aus φ : A ❀ B
folgt 〈φ ∗ ω, A〉 = 〈ω, B〉 ◦ φ. Das ist sogar eine hinreichende Bedingung: Gilt
〈φ ∗ ω, A〉 = 〈ω, B〉 ◦ φ für alle Kovektorfelder ω, so folgt φ : A ❀ B.
Beispiel 3.1.23. Wir betrachten die Polarkoordinatenabbildung
P : R 2 → R 2
(r, ϑ) ↦→ (r cos ϑ, r sin ϑ)
und benutzen die üblichen Koordinaten x, y auf dem Wertebereich. Unter
dieser Abbildung ist etwa das Kovektorfeld dx rechts verwandt zum Kovektorfeld
d(r cos ϑ) = (cos ϑ) dr−(r sin ϑ) dϑ links. Ebenso ist das Kovektorfeld
dy rechts verwandt zum Kovektorfeld d(r sin ϑ) = (sin ϑ) dr + (r cos ϑ) dϑ
links. Um einen Verwandten für ∂ϑ zu suchen, wenn dieses Vektorfeld denn
einen Verwandten haben sollte, machen wir den Ansatz ∂ϑ ❀ a∂x + b∂y
mit unbestimmten Funktionen a, b und finden durch Paaren mit dx leicht
−(r sin ϑ) ❀ a und durch Paaren mit dy ebenso (r cos ϑ) ❀ b, womit wir für
das Vektorfeld ∂ϑ links als einzigen Verwandten das Vektorfeld −y∂x + x∂y
rechts finden. Das Vektorfeld ∂r links hat keinen Verwandten rechts, denn
derselbe Ansatz ∂r ❀ a∂x + b∂y führt zu P : sin ϑ ❀ a und P : cos ϑ ❀ b,
und derartige Funktionen a, b gibt es nicht. Schränken wir jedoch unsere Polarkoordinatenabbildung
ein zu einer Abbildung P : {(r, ϑ) | r > 0} → R 2 \0,
so gibt es derartige Funktionen doch und unser Vektorfeld ∂r hat unter dieser
Einschränkung den einzigen Verwandten
x/ x2 + y2
∂x + y/ x2 + y2
∂y
Meist wird man mit diesen Begriffen etwas großzügiger umgehen, zwischen
verwandte Objekte schlicht ein Gleichheitszeichen schreiben und es auch mit
den Definitionsbereichen nicht so genau nehmen, so daß wir etwa schreiben