Analysis

4. SCHROTTHALDE ZUR ANALYSIS 1275
Die Differenzierbarkeit von Φ ′ nach t und die erste Gleichung folgt dann aus
IV.2.1.10, da wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit X = R n annehmen
dürfen und uns dann Φ ′ schlicht als eine Matrix von partiellen Ableitungen
denken können. Um nun umgekehrt zu zeigen, daß unser Fluß für jedes t
differenzierbar ist nach x an einer Stelle p, nehmen wir an, daß unser Fluß
etwa auf [0, b] × W definiert sei mit W ⊂◦ U einer Umgebung von p ∈ U und
b > 0 und gehen wir aus von einer Lösung Λ : [0, b] → End X der linearen
Differentialgleichung
∂Λ
∂t (t) = A′ (Φ(t, p))Λ(t)
mit Anfangswert Λ(0) = id, die ja nach IV.5.3.5 und ?? existiert und eindeutig
bestimmt ist. Für diese Lösung zeigen wir
Φ(t, p + h) − Φ(t, p) − Λ(t)h = h · ηt(h)
mit limh→0 ηt(h) = 0 für alle t, und das zeigt dann, daß für alle t die Abbildung
x ↦→ Φ(t, x) bei x = p differenzierbar ist. Um nun die behauptete Abschätzung
für die Lösung zu erhalten, setzen wir ∆(t, h) = Φ(t, p+h)−Φ(t, p)
und bezeichnen die linke Seite der eben einzeln geschriebenen Gleichung mit
D(t, h) = ∆(t, h) − Λ(t)h und finden
∂D
∂t (t, h) = A(Φ(t, p + h)) − A(Φ(t, p)) − A′ (Φ(t, p))Λ(t)h
= A ′ (Φ(t, p))∆(t, h) + ∆(t, h)R(∆(t, h)) − A ′ (Φ(t, p))Λ(t)h
= A ′ (Φ(t, p))D(t, h) + ∆(t, h)R(∆(t, h))
für stetiges R mit R(0) = 0. Beachten wir D(0, h) = 0, so folgt mit Integration
D(t, h) =
t
0
A ′ (Φ(τ, p))D(τ, h) + ∆(τ, h)R(∆(τ, h)) dτ
Aus dem Beweis von ?? wissen wir bereits, daß Integralkurven in lipschitzstetigen
Vektorfeldern höchstens exponentiell auseinanderlaufen und daß genauer
in Formeln gilt ∆(t, h) ≤ h eLt . Weiter gibt es für alle ε > 0 ein rε > 0
mit v < rε ⇒ R(v) < ε. Aus h < rε e−Lb folgt also R(∆(τ, h)) < ε für
τ ∈ [0, b] und damit ∆(τ, h)R(∆(τ, h)) < εh eLb . Für alle t ∈ [0, b] folgt
aus h < rε e−Lb also
D(t, h) ≤
t
0
C D(τ, h) dτ + ε · h · e Lb ·b
für C eine obere Schranke von A ′ (Φ(τ, p)). Mit Gronwalls Lemma ergibt
sich dann schließlich, daß aus h < rε e −Lb folgt
D(t, h) ≤ ε · h · e Lb ·b · e tC