Analysis

1316 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
Definition 4.15.2. Gegeben ein reeller topologischer Vektorraum V bezeichnet
man den Raum aller stetigen Linearformen
V ∗ = ModtoR(V, R)
als den topologischen Dualraum von V und verwendet dasselbe Symbol
wie für den algebraischen Dualraum HomR(V, R) = ModR(V, R) in der Hoffnung,
daß der Leser aus dem Kontext erschließen kann, welche Bedeutung
jeweils gemeint ist. Die Kofinaltopologie in Bezug auf die Auswertungsabbildungen
V ∗ → R an allen Vektoren v ∈ V heißt die schwach-∗-Topologie
auf V ∗ , gesprochen “schwach-Stern-Topologie”.
4.15.3. Mit der schwach-∗-Topologie wird der topologische Dualraum V ∗ eines
topologischen Vektorraums wieder ein topologischer Vektorraum, wie der
Leser zur Übung selbst zeigen mag. Im Fall eines normierten Vektorraums V
ist diese Topologie im allgemeinen schwächer als die durch die Operatornorm
auf V ∗ definierte Topologie in dem Sinne, daß sie weniger offene Mengen
hat und folglich etwa die Konvergenz von Folgen bezüglich dieser Topologie
eine schwächere Bedingung ist. Man spricht dann auch von schwacher
Konvergenz.
Definition 4.15.4. Umgekehrt können wir auf jedem komplexen topologischen
Vektorraum V die kofinale Topologie in Bezug auf die Familie aller
stetigen Linearformen V → R betrachten. Sie heißt die schwache Topologie
auf V .
Übung 4.15.5. Jeder topologische Vektorraum ist auch mit der schwachen
Topologie ein topologischer Vektorraum. Diese Topologie ist im allgemeinen
schwächer als die ursprüngliche Topologie. Der topologische Dualraum eines
topologischen Vektorraums ist mit der schwach-∗-Topologie ein topologischer
Vektorraum.
Satz 4.15.6 (Alaoglu-Bourbaki). Der abgeschlossene Einheitsball im topologischen
Dualraum eines normierten Vektorraums ist schwach-∗-kompakt,
als da heißt kompakt in der schwach-∗-Topologie. Ist allgemeiner B eine Umgebung
des Ursprungs in einem topologischen Vektorraum V, so ist die Menge
K = {f ∈ V ∗ | |f(v)| ≤ 1 ∀v ∈ B} schwach-∗-kompakt.
Beweis. Man betrachte die offensichtliche Einbettung V ∗ ↩→
v∈V R gegeben
durch f ↦→ (f(v))v∈V . Unsere schwach-∗-Topologie ist per definitionem
die von der Produkttopologie auf V ∗ induzierte Topologie. Der Raum K ist
das Urbild in V ∗ eines Produkts von kompakten Intervallen, wir nehmen genauer
die abgeschlossenen Intervalle [−1, 1] für v ∈ B und geeignet größere