Analysis

1224 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
und folglich
(a ∗ ω)sϕ(t)((s ◦ ϕ) ′ (t), k) = ωϕ(t)( ˙ϕ(t), (da)(k))
= (dϕ(t)H)(da)(k)
= (dsϕ(t)(H ◦ a))(k)
Nun können wir nach unseren allgemeinen Überlegungen a ∗ ω explizit beschreiben:
Sind x1, . . . , xn lineare Koordinaten auf E und y1, . . . , yn die zugehörigen
Impulskoordinaten alias Koordinaten zur dualen Basis auf E ∗ , so
haben wir
a ∗ ω =
n
dxi ∧ dyi.
i=1
Sind zusätzlich die xi die Koordinaten einer Orthogonalbasis von E, so gilt
weiter
2
H = yi /2 ◦ s.
Damit ergibt sich für k = (v, w1, . . . , wn) mit v ∈ Tπϕ(t)M ⊂ E und (w1, . . . , wn) ∈
E ∗ sofort für die linke Seite unserer Gleichung
(s◦ϕ) ′ 1w1 +. . .+(s◦ϕ) ′ nwn −(s◦ϕ) ′ n+1v1 −. . .−(s◦ϕ) ′ 2nvn = (dϕ(t)H)(da)(k)
Setzen wir w1 = . . . = wn = 0 und beachten, daß H von den Ortsvariablen
nicht abhängt, so ergibt sich
(sϕ) ′ n+1v1 + . . . + (s ◦ ϕ) ′ 2nvn = 0
für alle (v1, . . . , vn) ∈ Tsϕ(t)M was gerade die eine Bedingung war. Die
explizite Form von H liefert dH = s ∗ ( yidyi). Damit habe a ∗ (dH) =
a ∗ s ∗ ( yi dyi) und auf k = (0, w1, . . . , wn) and Stelle (s ◦ ϕ)(t) losgelassen
liefert (?)
(s ◦ ϕ)n+1(t)w1 + . . . + (s ◦ ϕ)2nwn = (s ◦ ϕ) ′ 1(t)w1 + . . . + (s ◦ ϕ) ′ nwn
und damit die zweite benötigte Gleichung.
3.6 Hamilton-Versuch
Ich will das im folgenden parallel einen Schritt nach dem anderen erst ohne
Einheiten in Koordinaten und dann abstrakt zu entwickeln.
3.6.1. Wir arbeiten mit N Teilchen, die sich im R 3 bewegen. Der Zustand
unseres Systems wird durch ein Element des R 3N beschrieben, seine zeitliche