Analysis

4. SCHROTTHALDE ZUR ANALYSIS 1279
der Tat folgt ja aus unserer zweiten Annahme an I sofort d(ˆγ, ˆ ψ) ≤ d(γ, ψ)/2
und für einen Weg γ ∈ ¯ B(κ; R) folgt insbesondere d(ˆγ, ˆκ) ≤ d(γ, κ)/2 ≤ R/2.
Wegen d(ˆκ, κ) ≤ R/2 folgt mit der Dreiecksungleichung dann aber auch
d(ˆγ, κ) ≤ R alias ˆγ ∈ ¯ B(κ; R). Nun ist unser Wegeraum ¯ B(κ; R) jedoch nach
II.7.5.30 vollständig für die Metrik der gleichmäßigen Konvergenz. Nach dem
Banach’schen Fixpunktsatz IV.4.1.8 gibt es also genau ein γ ∈ ¯ B(κ; R) alias
genau eine stetige Abbildung γ : I → ¯ B(p; R) mit ˆγ = γ, als da heißt mit
γ(t) = p +
t
0
A(γ(τ)) dτ ∀t ∈ I
Insbesondere gibt es also für hinreichend kleines ε eine auf [−ε, ε] definierte
Integralkurve unseres Vektorfelds mit Anfangswert p, und die Existenz ist
gezeigt. Seien nun γ1 : I1 → U und γ2 : I2 → U zwei Integralkurven zu
p. Wir wollen zeigen, daß sie für hinreichend kleines η > 0 auf I1 ∩ I2 ∩
[−η, η] übereinstimmen. Nur im Fall I1 ∩ I2 = 0 ist noch etwas zu zeigen. Für
hinreichend kleines η > 0 ist aber dann sicher I1 ∩ I2 ∩ [−η, η] ein halboffenes
kompaktes Intervall, das unter beiden Integralkurven nach ¯ B(p; R) abgebildet
wird, und nehmen wir zusätzlich η > 0 so klein, daß gilt η · L ≤ 1/2, so zeigt
die Eindeutigkeitsaussage aus dem Banach’schen Fixpunktsatz, daß unsere
beiden Integralkurven auf I1 ∩ I2 ∩ [−η, η] übereinstimmen müssen.
Zweiter Beweis. Wir betrachten für ein halboffenes kompaktes reelles Intervall
I ⊂ R mit 0 ∈ I den Raum
C 1 p(I, X)
aller stetig differenzierbaren Wege γ : I → X mit γ(0) = p und versehen
seinen Richtungsraum C 1 0(I, X) mit der Norm ϕ1 = ϕ∞ + ˙ϕ∞ der
gleichmäßigen Konvergenz von Funktion und erster Ableitung. Nach II.7.5.31
erhalten wir so einen vollständigen normierten Vektorraum. Nun betrachten
wir in unserem affinen Raum die offene Teilmenge C 1 p(I, U) aller in U verlaufenden
Wege und die Abbildung
F : R × C 1 p(I, U) → C(I, X)
(τ , γ) ↦→ ˙γ − τ(A ◦ γ)
Unter dieser Abbildung geht offensichtlich (τ, γ) nach Null genau dann, wenn
γ : I → U eine Integralkurve des reskalierten Feldes τA ist. Bezeichnet κ
den konstanten Weg bei p, so gilt insbesondere (0, κ) ↦→ 0. Wir wenden nun
den Satz über implizite Funktionen IV.4.2.8 an. Das Differential von F ergibt
sich mit Summenregel IV.1.4.4, Produktregel IV.1.4.5 und der anschließenden
Übung ?? zu
(d(τ,γ)F )(h, α) = ˙α − h(A ◦ γ) − τ(dA ◦ (γ, α))