Analysis

68 KAPITEL I. ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Beweis. In der Tat rechnen wir schnell (a⊤b)⊤( ¯ b⊤ā) = e = ( ¯ b⊤ā)⊤(a⊤b).
Diese Formel ist auch aus dem täglichen Leben vertraut: Wenn man sich
morgends zuerst die Strümpfe anzieht und dann die Schuhe, so muß man
abends zuerst die Schuhe ausziehen und dann die Strümpfe.
Beispiele 3.2.7. Von unseren Beispielen 3.1.2 für Verknüpfungen oben ist nur
(Z, +) eine Gruppe, und diese Gruppe ist kommutativ. Ein anderes Beispiel
für eine kommutative Gruppe ist die Menge Q der rationalen Zahlen mit
der Addition als Verknüpfung, ein weiteres die Menge Q\{0} der von Null
verschiedenen rationalen Zahlen mit der Multiplikation als Verknüpfung.
Übung 3.2.8. Die invertierbaren Elemente eines Monoids bilden stets eine
Gruppe. Ein Element a eines Monoids A ist invertierbar genau dann, wenn
es b, c ∈ A gibt mit b⊤a = e = a⊤c für e das neutrale Element.
Definition 3.2.9. Ist (A, ⊤) eine Gruppe, so erweitern wir unsere Notation
n ⊤ a aus 3.1.14 auf alle n ∈ Z, indem wir setzen n ⊤ a = (−n) ⊤ ā für n negativ.
3.2.10. In einer Gruppe gelten offensichtlich sogar für alle ganzen Zahlen
n ∈ Z die Regeln (n + m) ⊤ a = (n ⊤ a)⊤(m ⊤ a) und (nm) ⊤ a = n ⊤ (m ⊤ a). Ist
die Gruppe kommutativ, so gilt zusätzlich n ⊤ (a⊤b) = (n ⊤ a)⊤(n ⊤ b) für alle
n ∈ Z.
3.2.11. Verknüpfungen werden meist additiv oder multiplikativ geschrieben,
also a + b oder a · b, wobei die additive Schreibweise kommutativen Verknüpfungen
vorbehalten ist und die Bruchnotation 1/a und b/a aus nebenstehender
Tabelle kommutativen multiplikativ geschriebenen Monoiden, in denen
b invertierbar ist. Bei additiv geschriebenen Gruppen bezeichnet man das
Inverse von a meist als das Negative von a. Bei nichtkommutativen und
multiplikativ notierten Gruppen oder Monoiden benutzt man für das Inverse
von a nur die von der allgemeinen Notation a n abgeleitete Notation a −1 . Die
nebenstehende Tabelle faßt die üblichen Notationen für unsere abstrakten
Begriffsbildungen in diesem Kontext zusammen und gibt unsere allgemeinen
Resultate und Konventionen in diesen Notationen wieder. Diejenigen
Formeln und Konventionen, die keine Inversen brauchen, benutzt man auch
allgemeiner für beliebige Monoide. Für die Gruppe der invertierbaren Elemente
eines multiplikativ notierten Monoids A verwenden wir die Notation
A × . Zum Beispiel haben wir Z × = {1, −1}.
Beispiel 3.2.12. Für jede Menge X ist die Menge aller Bijektionen von X auf
sich selbst eine Gruppe, mit der Komposition von Abbildungen als Verknüpfung.
Wir notieren diese Gruppe Ens × (X) in Übereinstimmung mit unserer