Analysis

1458 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
Bemerkung 5.3.16. Differentialformen auf P 1 C sind Schnitte im Bündel O(2),
das wir in ?? eingeführt haben. Unsere Modulfunktionen entsprechen also
Schnitten in O(2k). Ebenso kann entsprechen Schnitte in O(k) gewissen meromorphen
Funktionen auf der oberen Halbebene mit merkwürdigem Transformationsverhalten.
Sollten das die“Modulformen zu halbzahligem Gewicht”
aus Freitag-Busam sein? Das würde allerdings nicht gut passen, denn ihr Index
wäre eher k als k/2. Gucke mal im zweiten Band nach!
Bemerkung 5.3.17. Gegeben eine natürliche Zahl g heißt die Menge
⎧
⎫
⎪⎨
Riemann’sche Flächen ⎪⎬
von der topologischen Gestalt
Mg =
⎪⎩
einer Sphäre mit g Henkeln, ⎪⎭
bis auf Isomorphismus
der Modulraum der Riemann’schen Flächen vom Geschlecht g. Dieser
Modulraum kann auch beschrieben werden, indem man eine glatte orientierte
zusammenhängende kompakte Fläche X vom Geschlecht g fest wählt,
darauf die Menge Sg aller mit der Orientierung und C ∞ -Struktur verträglichen
Strukturen als Riemann’sche Fläche betrachtet mit der offensichtlichen
Operation der Gruppe G aller orientierungserhaltenden Diffeomorphismen
X ∼ → X, und dann zum Bahnenraum Sg/G übergeht: In der Tat induziert
dann die offensichtliche Surjektion Sg ↠ Mg eine Bijektion Sg/G ∼ → Mg.
Diese Beschreibung ist auch technisch besser, da sie die mengentheoretischen
Schwierigkeiten vermeidet, die die Betrachtung “aller” Riemann’schen Flächen
einer gewissen Art mit sich bringt. Betrachtet man in G die Untergruppe
G1 ⊂ G aller zur Identität auf X homotopen Diffeomorphismen, so heißt
der Quotient
Tg = Sg/G1
der Teichmüllerraum der Riemann’schen Flächen vom Geschlecht
g. Man kann den Teichmüllerraum in natürlicher Weise mit einer holomorphen
Struktur versehen, er wird dann für g ≥ 2 isomorph zu einer offenen
Teilmenge des C 3g−3 , die homöomorph ist zu einem offenen Ball, und der Modulraum
selbst kann dann beschrieben werden als der Quotient Mg = Tg/Γ
dieses offenen Balls nach der Operation der Gruppe Γ = G/G1, bei der im
übrigen alle Isotropiegruppen endlich sind.
5.4 Klassifikation holomorpher Ringgebiete
Satz 5.4.1 (Klassifikation holomorpher Ringgebiete). Eine Riemann’sche
Fläche, die als topologischer Raum homöomorph ist zu C × , ist biholomorph
zu genau einer der folgenden Riemann’schen Flächen: Zur punktierten Ebene