Analysis

3. SPEKTRALTHEORIE IN HILBERTRÄUMEN 751
Korollar 3.10.6 (Spektralsatz für normale Operatoren).
1. Gegeben ein Hilbertraum H erhalten wir eine Bijektion
Auf C definierte kompakt getragene
Teilungen der Identität von H
Φ
∼→
↦→
Normale
Operatoren auf H
zΦ〈z〉
2. Für die einem normalen Operator N entsprechende Teilung der Identität
ΦN ist das Spektrum σ(N) von N das kleinste Kompaktum K ⊂ C
mit ΦN(K) = idH und der adjungierte Operator wird gegeben durch das
Integral
N ∗
= ¯zΦN〈z〉
3. Gegeben eine stetige lineare Abbildung von Hilberträumen A : H → H ′
und normale Operatoren N ∈ B(H), N ′ ∈ B(H ′ ) mit AN = N ′ A gilt
für die zugehörigen projektorwertigen Maße Φ, Φ ′ und jede Borelmenge
M ⊂ C darüberhinaus
A ◦ Φ(M) = Φ ′ (M) ◦ A
Beweis. Jeder normale Operator N läßt sich in eindeutiger Weise darstellen
als
N = R + i I
mit kommutierenden selbstadjungierten Operatoren R und I, nämlich mit
R = (N + N ∗ )/2 und I = (N − N ∗ )/2 i. Betrachten wir zu R und I die
simultane Spektralzerlegung, d.h. die auf R 2 definierte kompakt getragene
Teilung Φ der Identität von H mit
R = xΦ〈x, y〉 und I =
yΦ〈x, y〉
so erhalten wir unter der Identifikation R2 ∼ → C, (x, y) ↦→ x + i y eine Teilung
Φ der Identität auf C mit
N = zΦ〈z〉
Der Rest des Beweises kann dem Leser überlassen bleiben, für Teil 3 benutze
man das anschließende Lemma 3.10.7.
Lemma 3.10.7. Gegeben N : H → H und N ′ : H ′ → H ′ normale Operatoren
auf Hilberträumen und A : H → H ′ eine stetige lineare Abbildung mit AN =
N ′ A gilt auch für ihre Adjungierten AN ∗ = N ′∗ A.