Analysis

188 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei D = I ein Intervall. Wir
schreiben
f ′ (x) = f ′ (p) + (x − p)ϕ(x)
= (x − p)ϕ(x)
mit ϕ stetig in p und ϕ(p) = f ′′ (p) > 0. So gibt also r > 0 mit ϕ(q) > 0 für
q ∈ I ∩ (p − r, p + r), und wir folgern f ′ (q) < 0 für q ∈ I ∩ (p − r, p) und
f ′ (q) > 0 für q ∈ I ∩ (p, p + r). Unseren Funktion f fällt also streng monoton
auf I ∩ (p − r, p) und wächst streng monoton auf I ∩ (p, p + r). Der andere
Fall f ′′ (p) < 0 wird analog behandelt.
Ergänzende Übung 4.3.16. Man zeige, daß ein Punkt (x, y) ∈ (0, 1) 2 genau
dann auf einem Geradensegment der Länge Eins mit einem Ende auf der x-
Achse und dem anderen Ende auf der y-Achse liegt, wenn gilt y 2/3 +x 2/3 ≤ 1.
Hinweis: Man halte x fest und berechne für alle a ∈ [x, 1] die Höhe hx(a) an
der Stelle x eines Brettes der Länge 1, das bei a auf der x-Achse steht und an
die y-Achse angelehnt ist. Dann bestimme man das Maximum dieser Höhen
bei festem x und variablem α.
Definition 4.3.17. Wir nennen eine Funktion f : I → R auf einem reellen
Intervall I konvex bzw. konkav genau dann, wenn ihr Graph unter bzw.
über jeder seiner Sekanten liegt, wenn also in Formeln für alle x < y < z aus
I gilt
f(x) − f(y)
x − y
bzw. ≥ für konkave Funktionen.
≤
f(y) − f(z)
y − z
Übung 4.3.18. Man zeige, daß diese Bedingung gleichbedeutend ist zu
f(tx + (1 − t)z) ≤ tf(x) + (1 − t)f(z) ∀t ∈ [0, 1]
Satz 4.3.19 (Zweite Ableitung und Konvexität). Sei I ⊂ R ein halboffenes
Intervall und sei f : I → R eine zweimal differenzierbare Funktion.
So gilt
f ist konvex ⇔ f ′′ (x) ≥ 0 ∀x ∈ I
f ist konkav ⇔ f ′′ (x) ≤ 0 ∀x ∈ I
Beweis. Wir zeigen nur die erste Aussage. Ist f nicht konvex, so gibt es x, y, z
mit x < y < z aber
f(x) − f(y)
>
x − y
f(y) − f(z)
y − z
Nach dem Mittelwertsatz finden wir dann aber ξ < ζ mit f ′ (ξ) > f ′ (ζ)
und bei nochmaligem Anwenden η mit f ′′ (η) < 0. Ist umgekehrt f konvex,