Analysis

15. WEITERES ZU LIEGRUPPEN 1141
3. In der abelschen Gruppe Top(T, S 1 ) aller stetigen Abbildungen von T
nach S 1 ist die Menge der stetigen Gruppenhomomorphismen eine endlich
erzeugte Untergruppe X(T ) ∼ = Z × . . . × Z.
4. Bezeichnet N = NK(T ) den Normalisator von T in K, so operiert
N auf X(T ) und sein Bild ist eine endliche Gitterspiegelungsgruppe
W ⊂ Ab × (X(T )).
5. Auf diese Weise erhalten wir eine Bijektion
⎧
⎨
⎩
Kompakte zusammen-
-hängende Liegruppen,
bis auf Isomorphismus
⎫
⎬
⎭
∼
→
⎧
⎨
15 Weiteres zu Liegruppen
15.1 Muß woanders hin, Sammelsurium
⎩
Endliche Gitterspiegelungsgrup-
-pen mit stabiler Wurzelwahl,
bis auf Isomorphismus
Bemerkung 15.1.1. Hier sind die Darstellungen ungerader Dimension von
reellem Typ und die Darstellungen gerader Dimension von quaternionalem
Typ. In der Tat gibt es in jeder Dimension bis auf Isomorphismus nur eine
irreduzible Darstellung, also ist jede einfache komplexe Darstellung isomorph
zu ihrer kontragredienten Darstellung und es gibt keine einfachen Darstellungen
von komplexem Typ. Den Darstellungen ungerader Dimension bleibt also
gar nichts anderes übrig als reell zu sein. Die einfache zweidimensionale komplexe
Darstellung andererseits ist von quaterionalem Typ nach ??. Folglich
kommt auch ihr Tensorprodukt V (2)⊗C V (2n+1) ∼ = V (2)⊗R V (2n+1)R mit
jeder einfachen Darstellung ungerader Dimension her von einer Darstellung
über H und folglich besitzt auch dieses Tensorprodukt einen schieflinearen
äquivarianten Automorphismus J mit J 2 = − id . Dasselbe gilt dann auch
für seine isotypischen Komponenten, und mit ?? erkennen wir so, daß alle
einfachen Darstellung gerader Dimension von quaterionalem Typ sind.
Lemma 15.1.2. Ist G eine kompakte Liegruppe, so ist jeder Liealgebrenhomomorphismus
su(2) → Lie G das Differential eines Homomorphismus von
Liegruppen SU(2) → G.
Bemerkung 15.1.3. Das ist ein Spezialfall eines allgemeinen Resultats, nach
dem für je zwei Liegruppen H, G mit H einfach zusammenhängend das Differential
eine Bijektion Grpto(H, G) ∼ → Alg R(Lie H, Lie G) liefert. Wir geben
jedoch für den oben angegebenen Fall einen eigenständigen Beweis, um die
Theorie kompakter Liegruppen in größerer Eigenständigkeit entwickeln zu
können.
⎫
⎬
⎭