Analysis

742 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Beweis. Wir beginnen mit dem Nachweis der Surjektivität. Sind alle Vektoren
unserer Darstellung differenzierbar, so existiert nach 3.1.20 ein selbstadjungierter
Operator T : H → H mit ρ(t) = exp(t i T ) für alle t ∈ R. Ist
Φ = ΦT die nach 3.6.11 zu T gehörige Teilung der Identität, in Formeln
T = xΦ〈x〉, so folgt mit 3.6.23 angewandt auf f(x) = exp(i tx) sofort
ρ(t) = exp(t i T ) =
e i tx Φ〈x〉
und wir haben bereits ein mögliches Φ gefunden. Im allgemeinen finden wir
mit 3.9.2 und dem Bilden sukzessiver orthogonaler Komplemente in unserer
Darstellung eine Familie (Hι, ρι)ι∈I von paarweise orthogonalen Unterdarstellungen,
deren Summe dicht liegt und in denen jeweils jeder Vektor differenzierbar
ist. Für jedes ι ∈ I finden wir dann nach dem bereits Bewiesenen
eine auf R definierte Teilung Φι der Identität von Hι mit
ρι(t) =
e i tx Φι〈x〉
Die Summe dieser teilraumwertigen Maße im Sinne von 3.8.5 ist dann eine
Teilung Φ der Identität von H mit
ρ(t)v =
e i tx
Φ〈x〉 v
erst für alle v aus einem der Hι, aber dann wegen der Linearität und Stetigkeit
beider Seiten sogar für alle v ∈ H. Das zeigt die Surjektivität. Um die
Eindeutigkeit von Φ zu zeigen, beachten wir zunächst, daß die in 3.6.5 erklärten
Maße 〈Φv, v〉 für v ∈ H unser Φ bereits eindeutig festlegen. Nach 3.6.8
entspricht aber die Fouriertransformierte des Maßes 〈Φv, v〉 unter der Identifikation
R ∼ → ˆ R, t ↦→ (x ↦→ e i tx ) gerade der Funktion t ↦→ 〈ρ(t)v, w〉, und
nach 2.3.19 wird ein reelles Maß durch seine Fouriertransformierte bereits
eindeutig festgelegt.
Lemma 3.8.5. Gegeben ein Hilbertraum H, eine Familie (Hι)ι∈I von paarweise
orthogonalen Teilräumen mit dichter Summe und Teilungen Φι der
Identität auf jedem Hι erhalten wir eine Teilung der Identität auf H durch
die Vorschrift
im Φ(M) =
im Φι(M)
Beweis. Dem Leser überlassen. Man nutze 3.6.4.
ι∈I