Analysis

11. ALLGEMEINE STETIGE DARSTELLUNGEN 1095
Übung 11.7.5. Ist X ein Hausdorffraum und konvergiert ein echter Filter
gegen die Punkte x und y aus X, so gilt x = y.
Übung 11.7.6. Viele Aussagen verallgemeinern sich von metrischen auf beliebige
topologische Räume, wenn man “Folgen durch Filter ersetzt”. Als Beispiel
zeige man, daß für eine Abbildung f : X → Y von topologischen Räumen
gleichbedeutend sind: (1) f ist stetig und (2) f ist filterstetig, d.h.
für jeden Filter F auf X mit Grenzwert x ∈ X konvergiert der Bildfilter
f∗F := {A ⊂ Y | f −1 (A) ∈ F} gegen f(x).
11.7.7. Eine uniforme Struktur im Sinne von 10.7.3 auf einer Menge X kann
beschrieben werden als ein Filter auf X × X, dessen Elemente sämtlich die
Diagonale umfassen, und das darüber hinaus noch weitere Eigenschaften hat.
11.8 Von-Neumann-Räume
Definition 11.8.1. Sei (X, A) ein uniformer Raum im Sinne von 10.7.3.
Ein Filter F auf X heißt ein Cauchy-Filter genau dann, wenn es für jeden
Abstand A ∈ A ein x ∈ X gibt mit B(x; A) ∈ F. Ein uniformer Raum heißt
vollständig genau dann, wenn darin jeder Cauchy-Filter konvergiert. Man
fordert hier nur die Existenz, nicht die Eindeutigkeit des Grenzwerts.
Beispiel 11.8.2. Ein Filter F auf einer abelschen topologischen Gruppe G ist
ein Cauchy-Filter genau dann, wenn es für jede nichtleere offene Teilmenge
U ⊂◦ G ein g ∈ G gibt mit gU ∈ F.
Übung 11.8.3. Jede abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen uniformen
Raums ist vollständig.
Definition 11.8.4. Ein reeller topologischer Vektorraum heißt lokal konvex
genau dann, wenn sich jede Umgebung eines beliebigen Punktes zu einer
konvexen Umgebung desselben Punkts verkleinern läßt. Ein von-Neumann-
Raum ist ein lokal konvexer vollständiger Hausdorff’scher topologischer Vektorraum.
Übung 11.8.5. Für jede konvexe Teilmenge eines reellen topologischen Vektorraums
bilden auch ihre inneren Punkte eine konvexe Teilmenge.
11.8.6. Wenn wir nichts dazusagen, so denken wir uns einen von-Neumann-
Raum meist über C. Der Begriff des von-Neumann-Raums kommt meines
Wissens in der Literatur noch nicht vor. Mir schien es jedoch für das Folgende
hilfreich, eine griffige Bezeichnung zur Verfügung zu haben, und da
die Vollständigkeit allgemeiner topologischer Vektorräume zuerst von John
von Neumann in [vN35] diskutiert wurde, im Übrigen im Hinblick auf die
Integration vektorwertiger Funktionen, schlage ich diese Terminologie vor.