Analysis

2. FOURIERTRANSFORMATION 681
Isomorphismus ist, reicht es, wenn wir die Injektivität der linken Vertikale
und die Kommutativität des Diagramms zeigen. Die besagte Injektivität muß
nur auf dem Teilraum aller reellen Maße gezeigt werden. Wie beim Beweis
von 2.1.26 reicht es hier sogar, die Injektivität auf der Teilmenge der nichtnegativen
reellen Maße zu zeigen, und diese folgt sofort aus IV.6.8.5. Um die
Kommutativität nachzuprüfen nehmen wir µ ∈ M(V ) und ξ ∈ M( ˆ V ) und
finden
(Fµ)ξ = χ(v)µ〈v〉ξ〈χ〉 = (Fξ)¯µ
Satz 2.3.20 (Abstrakte Poisson-Formel). Sei V ein endlichdimensionaler
reeller Vektorraum, Γ ⊂ V ein Gitter, λ = λΓ das im Sinne von 2.3.7
durch die Bedingung λ(V/Γ) = 1 normalisierte Haar-Maß auf V und Γ ∧ ⊂ ˆ V
das duale Gitter. Ist f ∈ S(V ) eine Schwartzfunktion, so gilt für die Fouriertransformierte
(fλ) ∧ des komplexen Maßes fλ die Formel
(fλ) ∧ (ζ) =
f(γ)
ζ∈Γ ∧
2.3.21. Eine noch etwas allgemeinere Version zeigen wir in einer etwas abstrakteren
Sprache in 2.7.20.
Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir statt Γ ⊂ V konkret
Z n ⊂ R n betrachten. Für f ∈ S(R n ) bilden wir die C ∞ -Funktion
γ∈Γ
F (x) =
f(x + γ)
γ∈Z n
Nach III.3.3.7 im Fall n = 1 und einer Verallgemeinerung der dort gegebenen
Argumente im Allgemeinen konvergiert die Fourier-Reihe von F gleichmäßig
gegen F . Betrachten wir genauer als Hilbertbasis von L 2 ([0, 1] n ; λ) die
Funktionen 2πˆy : x ↦→ e−2π i x·y mit y ∈ Zn nach 1.5.6 und bilden die Fourier-
Koeffizienten
cy = f(x) e −2π i x·y λ〈x〉 = (fλ) ∧ (2πˆy)
so gilt F (x) =
y∈Zn cy e2π i x·y an jeder Stelle x ∈ Rn . Speziell erhalten wir
durch Vergleich der beiden Ergebnisse
(fλ) ∧ (ζ) =
cy = F (0) =
f(γ)
ζ∈Γ ∧
y∈Z n
Ergänzung 2.3.22. Der Satz von Bochner beschreibt das Bild der durch
die Fouriertransformation gegebenen Einbettung F : M(V ; [0, ∞)) ↩→ Cb( ˆ V )
γ∈Γ