Analysis

4. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN 873
Übung 4.4.9. Sei n ∈ N fest gewählt. Sei X eine glatte Mannigfaltigkeit und
p : E → X eine Abbildung. Sei weiter eine Familie von Tripeln (Vα, Uα, ϕα)
gegeben mit Vα einem n-dimensionalen reellen Vektorraum, Uα ⊂◦ X einer
∼
offenen Teilmenge und ϕα : Uα × Vα → p−1 (Uα) einer Bijektion, die mit den
offensichtlichen Projektionen beider Seiten auf Uα verträglich ist. Nehmen
wir zusätzlich an, daß (1) für alle α, β die Verknüpfung
ϕ −1
β ϕα
∼
: (Uα ∩ Uβ) × Vα → (Uα ∩ Uβ) × Vβ
ein Isomorphismus von Vektorbündeln ist und daß (2) die Uα unsere Mannigfaltigkeit
X überdecken, so gibt es auf (E, p) genau eine Struktur als
Vektorbündel, für die alle unsere ϕα Bündelkarten sind.
Beispiel 4.4.10. Wir erinnern daran, daß nach 4.4.1 das Tangentialbündel
einer glatten n-Mannigfaltigkeit X genau eine Struktur als glatte 2n-Mannigfaltigkeit
besitzt derart, daß wir für jede Karte ϕ : W ↩→ X von X eine
Karte von TX erhalten, indem wir auf ˆ W := W × R n ⊂◦ R 2n die Abbildung
ˆϕ : ˆ W → TX erklären durch die Vorschrift ˆϕ : (x, v) ↦→ (dxϕ)(v). Unser
Tangentialbündel besitzt nun nach der vorhergehenden Übung sogar genau
eine Struktur als glattes Vektorraumbündel derart, daß wir für jede Karte
ϕ : W ↩→ X eine Bündelkarte erhalten durch das Bilden der Komposition
ϕ(W ) × R n ϕ−1 ×id
−→ W × R n ˆϕ
−→ TX
Ergänzung 4.4.11. Ähnlich wie für den Tangentialraum gibt es auch für das
Tangentialbündel verschiedene Konstruktionen. Ich will im folgenden analog
zu 4.3.11 in der Sprache der Kategorientheorie formulieren, worauf es wirklich
ankommt. Zunächst einmal definieren wir dazu eine Kategorie
Vekb
von Vektorbündeln auf Mannigfaltigkeiten. Objekte sind Paare (X, E) mit
X einer glatten Mannigfaltigkeit und E einem endlichdimensionalen glatten
reellen Vektorbündel auf X, Morphismen (X, E) → (Y, F ) sind Paare (g, ˜g)
mit g : X → Y glatt und ˜g : E → F einer glatten Abbildung, die g hochhebt
in dem Sinne, daß gilt πF ◦ ˜g = g ◦ πE, und die lineare Abbildungen ˜g : Ex →
Fg(x) zwischen den Fasern der Bündelprojektionen induziert. Das Vergessen
des Bündels liefert einen Funktor
B : Vekb → Mgf
in die Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten. Wie in 4.3.11 betrachten wir
weiter die volle Unterkategorie i : Mgf aff ↩→ Mgf aller Mannigfaltigkeiten, die