Analysis

1386 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
Wegen |f(z)| > |g(z)| ∀z ∈ ∂B sind aber f(z) + tg(z) für t ∈ [0, 1] und
z ∈ ∂B nie Null, und das liefert eine freie Homotopie unserer beiden geschlossenen
Wege f ◦ γ und (f + g) ◦ γ in C × . Folglich haben beide Wege
dieselbe Umlaufzahl um den Ursprung.
Beispiel 2.3.9 (Integrale rationaler Funktionen). Gegeben eine rationale
Funktion f ohne Polstellen auf der reellen Achse, bei der der Grad des
Nenners um mindestens zwei größer ist als der Grad des Zählers, gilt
∞
f(x) dx = 2πi
Res(f, ζ)
−∞
Im ζ>0
Nach dem Residuensatz ergibt sich nämlich die rechte Seite, wenn wir für r
größer als der Betrag aller Polstellen das Wegintegral von −r bis r entlang der
reellen Achse und dann auf einen großen Halbkreis durch die obere Halbebene
zurück ausrechnen. Lassen wir hier r gegen unendlich streben, so strebt die
Länge dieses Halbkreises linear gegen unendlich, das Betragsmaximum der
Funktion darauf strebt jedoch quadratisch gegen Null. Folglich streben die
Wegintegrale über immer größere Halbkreise gegen Null und die Formel folgt.
Diese Anwendung war allerdings die Mühe des Residuensatzes nicht wert. Wir
hätten auch einfach wie in III.1.4 erklärt die Funktion f in einem Partialbruch
entwickeln und eine Stammfunktion explizit angeben und zwischen −∞ und
∞ auswerten können. Als Übung mögen Sie zeigen, daß dabei dasselbe herausgekommen
wäre. Als Beispiel bestimmen wir nochmal das Integral über
die ganze reelle Achse von f(x) = 1/(1+x 2 ) = 1/((x+i)(x−i)). Diese Funktion
hat einfache Pole bei ± i. Ihr Residuum bei i können wir bestimmen,
indem wir unsere Funktion mit (x − i) multiplizieren und dann bei x = i aus-
werten. So folgt Res(f, i) = 1/(2 i) und wir erhalten ∞
−∞ 1/(1 + x2 ) dx = π
in Übereinstimmung mit II.7.6.16.
Beispiel 2.3.10 (Integrale rationaler Funktionen mit Exponentialterm).
Gegeben eine rationale Funktion f ohne Polstellen auf der reellen Achse, bei
der der Grad des Nenners größer ist als der Grad des Zählers, gilt
∞
f(x) e ix dx = 2πi
Resz=ζ f(z) e iz
−∞
r
in dem Sinne, daß sowohl limr→∞
0
Im ζ>0
0
als auch limr→∞
−r
existieren und ih-
re Summe den angegebenen Wert hat. Im Fall, daß der Grad des Nenners
sogar um mindestens zwei größer ist als der Grad des Zählers, kann das in
2.3.9 angewandte Argument unverändert übernommen werden. Im allgemeinen
betrachten wir ähnlich wie in 1.4.20 Wege einmal im Gegenuhrzeigersinn