Analysis

3. SPEKTRALTHEORIE IN HILBERTRÄUMEN 713
Satz 3.2.7 (Baire’scher Kategoriensatz). In einem vollständigen metrischen
Raum hat jede abzählbare Vereinigung von abgeschlossenen Teilmengen
ohne innere Punkte auch selbst keine inneren Punkte.
3.2.8. Die Bezeichnung “Baire’scher Kategoriensatz” kommt daher, daß Baire
eine Teilmenge “von erster Kategorie” nennt, wenn sie eine abzählbare Vereinigung
ist von Mengen, deren Abschluß jeweils keinen inneren Punkt enthält.
Mit dieser Terminologie kann man den Satz dann auch umformulieren zu der
Aussage, daß “in jedem vollständigen metrischen Raum das Komplement einer
Menge von erster Kategorie dicht liegt”.
Ergänzung 3.2.9. Der Baire’sche Kategoriensatz gilt mit fast demselben Beweis
auch für jeden lokal kompakten Hausdorff-Raum. Statt der Vollständigkeit
benutzt man beim Beweis dann II.6.10.8.
Beweis. Sei X unser vollständiger Raum und seien A1, A2, . . . abgeschlossene
Teilmengen. Wir argumentieren durch Widerspruch. Unter einem Ball
verstehen wir stets einen Ball mit positivem Radius. Hätte die Vereinigung
A = Ai einen inneren Punkt, so enthielte sie einen abgeschlossenen Ball
B0. Da A1 keinen inneren Punkt hat, kann der zugehörige offene Ball nicht
in A1 enthalten sein, und es gibt folglich einen abgeschlossenen Ball B1 ⊂ B0
mit B1 ∩ A1 = ∅. Wir dürfen dabei sogar annehmen, daß der Radius von
B1 kleiner als 1 ist. Da auch A2 keinen inneren Punkt hat, gibt es weiter
einen abgeschlossenen Ball B2 ⊂ B1 mit B2 ∩ A2 = ∅ und wir dürfen sogar
annehmen, daß der Radius von B2 kleiner als 1/2 ist. Indem wir immer so
weitermachen, finden wir eine absteigende Folge von abgeschlossenen Bällen
B0 ⊃ B1 ⊃ B2 ⊃ . . . , deren Radien gegen Null streben und deren Schnitt
die Menge A nicht trifft. Wegen A ⊃ B0 muß der Schnitt dann leer sein. Die
Zentren unserer Bälle bilden jedoch eine Cauchy-Folge, und deren Grenzwert
liegt notwendig im Schnitt aller unserer Bälle. Dieser Widerspruch beendet
den Beweis.
Übung 3.2.10. In einem vollständigen metrischen Raum ist der Schnitt einer
abzählbaren Familie offener dichter Teilmengen zumindest noch dicht.
Ergänzung 3.2.11. Hier noch eine witzige wenn auch unwesentliche Anwendung.
Es gibt ja eine Funktion f : R → R, die an allen irrationalen Stellen
stetig ist und an allen rationalen Stellen unstetig, zum Beispiel
f(x) =
0 x ∈ Q;
1/q x = p/q unkürzbarer Bruch mit q ≥ 1.
Es gibt jedoch keine Funktion f : R → R, die an allen rationalen Stellen stetig
ist und an allen irrationalen Stellen unstetig: Für jede Funktion f : R → R