Analysis

6. MASS UND INTEGRAL 533
Beweis. 1. Die Intervalle der Form (a, ∞] erzeugen die σ-Algebra der Borel-
Mengen in R.
2. Es gilt s−1 (a, ∞] = ∞ −1
n=0 fn (a, ∞] und i−1 [−∞, a) = ∞ −1
n=0 fn [−∞, a).
3. Nach 2 sind auch die Funktionen sN(x) = sup n≥N fn(x) meßbar, und dann
auch die Funktion g : X → R, g(x) = infN sN(x). Diese Funktion bezeichnet
man auch mit g = lim sup fn. Falls die fn punktweise gegen eine Grenzfunktion
f konvergieren, so gilt insbesondere f = lim sup fn, mithin ist dann auch
f meßbar.
Lemma 6.3.20. Ist X ein Meßraum und Y ein metrischer Raum und konvergiert
eine Folge meßbarer Funktionen fn : X → Y punktweise gegen eine
Grenzfunktion f : X → Y , so ist auch die Grenzfunktion f meßbar.
6.3.21. Wir können den dritten Teil von Satz 6.3.19 auch als Spezialfall dieses
Lemmas erhalten, wenn wir etwa beachten, daß unsere Topologie auf R
auch als eine metrische Topologie erhalten werden kann. Das Lemma gilt im
übrigen mit demselben Beweis für einen beliebigen Hausdorffraum mit der
Eigenschaft, daß jede seiner abgeschlossenen Mengen als der Schnitt einer
abzählbaren Familie offener Mengen geschrieben werden kann.
Beweis. Nach 6.3.9 reicht es, für alle abgeschlossenen Teilmengen A ⊂ V Y zu
zeigen, daß ihr Urbild unter f meßbar ist. Nun gibt es jedoch eine absteigende
Folge offener Mengen U0 ⊃ U1 ⊃ . . . mit Schnitt A. Dann ist f(x) ∈ A
gleichbedeutend dazu, daß es für jedes i ∈ N ein N = N(x, i) gibt mit
fn(x) ∈ Ui für n ≥ N(x, i). Damit können wir f −1 (A) wie folgt beschreiben:
Wir bilden zunächst für jedes i die Menge
Vi := {x ∈ X | ∃N mit n ≥ N ⇒ fn(x) ∈ Ui} =
N≥0 n≥N
f −1
n (Ui)
und erhalten dann f −1 (A) =
i≥0 Vi. Diese Darstellung zeigt jedoch, daß mit
den f −1
n (Ui) auch f −1 (A) meßbar sein muß.
Übung 6.3.22. Gegeben eine meßbare Abbildung φ : X → Y von Meßräumen
und ein Maß µ auf X erklärt man das Bildmaß φ∗µ auf Y dadurch, daß man
für jede meßbare Menge A ⊂ Y setzt
(φ∗µ)(A) = µ(φ −1 A)
Man zeige, daß diese Vorschrift in der Tat ein Maß auf Y liefert. Man zeige
auch für eine weitere meßbare Abbildung ψ : Y → Z von Meßräumen die
Formel ψ∗(φ∗µ) = (ψ ◦φ)∗µ und für die Identität auf X die Formel id∗ µ = µ.