Analysis

908 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Übung 4.10.20. Man zeige, daß jede abelsche Liegruppe G isomorph ist zum
Produkt ihrer Einszusammenhangskomponente G ◦ mit ihrer Komponentengruppe
G/G ◦ , einer diskreten Gruppe. Hinweis: Man beschränke sich der
Einfachkeit halber auf den Fall, daß die Komponentengruppe endlich erzeugt
ist. Wenn die entsprechenden Vorkenntnisse vorhanden sind, kann man sehr
elegant mit ?? und ?? argumentieren: Die exakte Sequenz G ◦ ↩→ G ↠ G/G ◦
muß spalten, da G ◦ divisibel und mithin eine injektive abelsche Gruppe ist.
4.11 Morphismen von Tori
4.11.1. Die Menge der stetigen Gruppenhomomorphismen von einer topologischen
Gruppe G nach S 1 notieren wir
X(G) := GrpTop(G, S 1 )
Offensichtlich bildet X(G) eine Untergruppe der Einheitengruppe des Rings
C(G) mit seiner punktweisen Verknüpfung. Wir notieren jedoch die Verknüpfung
in X(G) additiv in der Hoffnung, daß das anschaulicher wirkt. Elemente
λ ∈ X(G) schreiben wir in der Form e λ , wenn wir sie als komplexwertige
Funktionen auffassen und insbesondere, wenn wir sie als komplexwertige
Funktionen addieren wollen, so daß also im Ring C(G) gilt e λ+µ = e λ e µ .
Gegeben ein stetiger Homomorphismus topologischer Gruppen ϕ : G → H
induziert das Vorschalten von ϕ in der Gegenrichtung einen Homomorphismus
diskreter abelscher Gruppen
(◦ϕ) : X(H) → X(G)
4.11.2. Ist G eine Liegruppe, so liefert für jeden stetigen Gruppenhomomorphismus
χ : G → S 1 , ja sogar für jeden stetigen Gruppenhomomorphismus
χ : G → C × das Differential gefolgt von der offensichtlichen Identifikation
T1C × ∼ → C eine R-lineare Abbildung deχ : Lie G → C und dann mit der universellen
Eigenschaft der Komplexifizierung auch eine C-lineare Abbildung
deχ : LieC G → C, also ein Element deχ ∈ (LieC G) ∗ des Dualraums. Nach der
Produktregel ist χ ↦→ deχ ein Gruppenhomomorphismus X(G) → (LieC G) ∗ ,
und man sieht auch leicht, daß er natürlich ist in G, daß also für jeden Homomorphismus
von Liegruppen ϕ : G → H das Diagramm
X(H) → (LieC H) ∗
↓ ↓
X(G) → (LieC G) ∗
kommutiert, mit (◦ϕ) und dem Transponierten des komplexifizierten Differentials
(dϕ) ⊤ in den Vertikalen. Ist G zusammenhängend, so liefert die