Analysis

8. WURZELSYSTEME 1033
7.6.10 dazu eine lineare endliche reelle Spiegelungsgruppe mit genau einem
Fixpunkt, und dazu ein invariantes Skalarprodukt. Ein Wurzelsystem mit
dem vorgegebenen Dynkindiagramm erhält man dann, indem man zu jeder
Wand eines festen Alkoven einen Vektor positiver Länge wählt, der darauf
senkrecht steht und in Richtung unseres Alkoven zeigt, und die Längenverhältnisse
dieser Vektoren so einstellt, wie es das gegebene Dynkindiagramm
im Lichte von 8.1.12 vorschreibt, so daß also die “einfachen Spiegelungen” auf
“einfache Wurzeln”wirken wie von unserem Dynkindiagramm vorgeschrieben.
Die Vereinigung aller Bahnen dieser Vektoren unter unserer endlichen Spiegelungsgruppe
ist dann jedenfalls eine endliche Teilmenge der von den einfachen
Wurzeln erzeugten additiven Gruppe, die offensichtlich alle Eigenschaften eines
Wurzelsystems hat mit einer Ausnahme: Es ist nicht a priori klar, warum
unsere dritte Bedingung an ein Wurzelsystem, daß außer ihrem Negativen
kein Vielfaches einer Wurzel eine Wurzel sein darf, erfüllt sein muß. In anderen
Worten wäre es im Fall eines Diagramms mit mehrfachen Kanten a priori
möglich, daß wir ein “nichtreduziertes Wurzelsystem” erhalten. Dann müßte
es wegen unserer zweiten Bedingung an ein Wurzelsystem jedoch eine Wurzel
in unserem nichtreduzierten System geben, deren Doppeltes auch eine Wurzel
wäre. Damit gäbe es in unserer Menge drei verschiedene Längen für Wurzeln,
im Widerspruch zu unserer Konstruktion, die nur Vektoren in höchstens zwei
verschiedenen Längen liefert, da ja alle unsere Dynkindiagramme höchstens
eine “bepfeilte Kante” haben.
8.5.5. Wir haben damit die affinen reellen Spiegelungsgruppen vollständig
klassifiziert: Nach 7.7.7 zerfällt jede affine reelle Spiegelungsgruppe in einen
endlichen und einen essentiellen Faktor, deren Isomorphieklassen eindeutig
bestimmt sind. Nun gibt 7.6.7 im Verbund mit 7.6.5 eine Klassifikation der
endlichen Spiegelungsgruppen durch ihre Coxeter-Graphen zusammen mit
der Dimension ihrer Fixpunktmenge, und 8.2.2 gibt eine Klassifikation der
essentiellen affinen Spiegelungsgruppen durch Wurzelsysteme, die hinwiederum
nach 8.4.3 eindeutig in unzerlegbare Wurzelsysteme zerfallen. Diese unzerlegbaren
Wurzelsysteme schließlich haben wir in 8.5.4 durch ihre Dynkin-
Diagramme klassifiziert.