Analysis

2. SINGULÄRE STELLEN HOLOMORPHER FUNKTIONEN 1375
Übung 2.1.16. Gegeben U ⊂◦ C und p ∈ U definiere man die Bewertung bei
p einer meromorphen Funktion f auf U durch die Vorschrift
vp(f) = sup{n ∈ Z | (z − p) −n f(z) ist holomorph bei p}
In Formeln ist die Bewertung also eine Abbildung vp : M an (U) → Z ⊔
{∞}. Unsere Bewertung ist positiv auf Funktionen, die bei p eine Nullstelle
haben, negativ auf Funktionen, die bei p eine Polstelle haben, und unendlich
genau dann, wenn unsere Funktion in einer Umgebung des Punktes
p identisch verschwindet. Man zeige für alle meromorphen Funktionen
f, g ∈ M an (U) und alle p ∈ U die Formeln vp(fg) = vp(f) + vp(g) und
vp(f + g) ≥ min(vp(f), vp(g)) sowie im Fall vp(f) = vp(g) die Gleichheit
vp(f + g) = min(vp(f), vp(g)).
Vorschau 2.1.17. Für jede Primzahl p erklärt man analog auch eine Bewertung
vp : Q → Z ⊔ {∞} durch die Vorschrift, daß gilt vp(0) = ∞ und
vp(p n a/b) = n für a, b ∈ Z teilerfremd zu p. Diese Bewertung hat analoge
Eigenschaften wie unsere Bewertung meromorpher Funktionen aus der
vorhergehenden Übung 2.1.16. Die hier aufscheinende formale Analogie zwischen
dem Körper Q der rationalen Zahlen und Körpern von meromorphen
Funktionen geht noch sehr viel weiter und hat sich für die Zahlentheorie als
äußerst fruchtbar erwiesen.
Satz 2.1.18 (Laurententwicklung). Gegeben ein Kreisring in der komplexen
Zahlenebene der Gestalt U = {z | r < |z| < R} mit 0 ≤ r < R ≤ ∞
und darauf eine holomorphe Funktion f : U → C gibt es eindeutig bestimmte
Koeffizienten ck ∈ C derart, daß gilt
f(z) =
ckz k
k∈Z
im Sinne der kompakten Konvergenz auf unserem Kreisring der Folge Pn der
Partialsummen über alle k mit |k| ≤ n. Sogar die positiven und die negativen
Terme unserer Reihe bilden in dieser Situation für sich genommen jeweils
kompakt konvergente Reihen auf besagtem Kreisring.
Beweis. Die Koeffizienten sind durch die Funktion eindeutig bestimmt, denn
für jeden kreisförmigen Weg γ, der in unserem Kreisring einmal im Gegenuhrzeigersinn
um den Ursprung läuft, muß gelten
f(z)z n dz =
γ
k∈Z
ck
z
γ
k+n dz = 2πic−n−1