Analysis

1026 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Hier ist C(Π ∨ ) eine Weylkammer als ein Schnitt von Halbräumen zu Spiegelebenen,
der von keiner Spiegelebene getroffen wird, und das hinwiederum
folgt, da Π ∨ eine Basis von R ∨ ist. Wir zeigen schließlich, daß unsere beiden
Abbildungen C und Φ zueinander invers sind. Für jede Kammer A folgt
aus Satz 7.2.29 über die Begrenzung eines Alkoven durch sein Wände sofort
C(Φ(A)) = A. Ist umgekehrt Π ∨ ⊂ R ∨ eine Basis, so sind die bezüglich Π ∨
positiven Kowurzeln genau die Kowurzeln, die auf der Kammer C(Π ∨ ) positive
Werte annehmen, und alle Wurzeln aus Φ(C(Π ∨ )) sind insbesondere
positive Wurzeln für Π ∨ . Nun ist aber Π ∨ offensichtlich die einzige Basis von
R ∨ , die aus bezüglich Π ∨ positiven Kowurzeln besteht. Also haben wir auch
Φ(C(Π ∨ )) = Π ∨ . Damit ist gezeigt, daß die in 3 und 4 angegebenen Abbildungen
in der Tat zueinander inverse Bijektionen liefern. Weiter ist offensichtlich,
daß wir eine Basis aus ihrem System von positiven Wurzeln zurückgewinnen
können durch die in 2 beschriebene Konstruktion. Es ist also klar, daß 1 und
2 zueinander inverse Isomorphismen sind, sobald wir zeigen, daß 1 surjektiv
ist, daß also jedes System positiver Wurzeln von einer Basis herkommt. Um
das zu zeigen beachten wir:
Lemma 8.3.4. Ist R ein Wurzelsystem, Π ⊂ R eine Basis von R und R + =
R + (Π) das zugehörige System positiver Wurzeln, so gilt für alle Wurzeln aus
unserer Basis α ∈ Π die Formel
sαR + = (R + \α) ∪ {−α}
Beweis. Formal sieht man dies Lemma leicht ein, denn aus der Definition
folgt für α eine Wurzel von Π schon (R + +Zα)∩R = R + ∪{−α}. Anschaulich
bedeutet das Lemma, daß das Bild einer Weylkammer unter der Spiegelung
an einer ihrer Wände nur durch diese Spiegelebene von sich selbst getrennt
wird.
Sei nun P + ein System positiver Wurzeln und Π eine Basis von R derart,
daß P + ∩ R + (Π) soviel Elemente hat wie möglich. Wäre P + = R + (Π), so
gäbe es α ∈ Π mit α ∈ P + . Aber dann hätte P + ∩ R + (sαΠ) noch mehr
Elemente als P + ∩ R + (Π), im Widerspruch zur Wahl von Π. Also kommt
jedes System positiver Wurzeln in der Tat von einer Basis her und die in 1
und 2 angegebenen Abbildungen liefern zueinander inverse Bijektionen. Wir
wählen schließlich ein weylgruppeninvariantes Skalarprodukt auf 〈R〉Q und
betrachten den zugehörigen Isomorphismus i : 〈R〉 ∗ Q → 〈R〉Q. Gehört eine
Basis Π von R zum Alkoven A ⊂ 〈R〉 ∗ Q , so gehört offensichtlich Π∨ zum Alkoven
i(A) ⊂ 〈R〉Q. Damit ist der Satz bewiesen bis auf die Kommutativität
des Diagramms, deren Nachweis wir dem Leser überlassen.