Analysis

6. MASS UND INTEGRAL 561
Lemma 6.8.4. Ist A ⊂◦ R n eine offene Teilmenge, so gibt es eine monoton
wachsende Folge von stetigen, ja sogar von glatten nichtnegativen Funktionen
mit kompaktem, in A enthaltenem Träger, die punktweise gegen die charakteristische
Funktion [A] von A strebt.
Beweis. Man schreibe A als Vereinigung einer Folge offener Quader Qk mit
kompaktem Abschluß, wähle etwa mithilfe von II.4.2.11 für jedes Qk eine
glatte Funktion gk auf R n , die auf Qk positiv ist und außerhalb von Qk
verschwindet, und betrachte die Folge der Funktionen fk = g1 + . . . + gk. Des
weiteren wähle man eine Folge von monoton wachsenden glatten Funktionen
hk : R → R derart, daß hk unterhalb von 1/(k+1) verschwindet und oberhalb
von 1/k konstant den Wert 1 annimmt. Die hk ◦ fk bilden dann eine Folge
von Funktionen der gewünschten Art.
Beweis von 6.8.1. Wir zeigen nun zunächst die erste Behauptung. Mit Lemma
6.8.4 folgt unsere Formel für die charakteristischen Funktionen f = [O]
von offenen Teilmengen O ⊂◦ V , indem wir [O] als punktweisen monotonen
Grenzwert einer Folge fn aus Cc(V ) schreiben und den Satz über monotone
Konvergenz 6.4.9 verwenden und erinnern, daß wir die Transformationsformel
für stetige Funktionen mit kompaktem Träger bereits als 4.4.6 gezeigt haben.
Dann folgt sie für die charakteristischen Funktionen f = [K] von kompakten
Teilmengen K ⊂ V , indem wir eine offene Menge O endlichen Maßes finden
mit K ⊂ O ⊂ V und [K] = [O]−[O\K] schreiben. Dann folgt sie für die charakteristischen
Funktionen f = [A] von meßbaren Teilmengen A ⊂ V , indem
wir mithilfe von 6.7.1 eine absteigende Folge offener Mengen und eine aufsteigende
Folge kompakter Mengen finden mit O0 ⊃ O1 ⊃ . . . A . . . ⊃ K1 ⊃ K0
und limn→∞ λ(On) = λ(A) = limn→∞ λ(Kn). Dann folgt sie für meßbare reellwertige
Stufenfunktionen aus der Additivität des Integrals 6.4.11. Schließlich
folgt sie für beliebige meßbare Funktionen f : V → [0, ∞] mit dem Satz
über monotone Konvergenz, indem wir f mit 6.4.12 als punktweisen monotonen
Grenzwert meßbarer Stufenfunktionen schreiben. Der Fall integrierbarer
Funktionen folgt ohne Mühe aus dem Fall meßbarer Funktionen mit Werten
in [0, ∞].
Übung 6.8.5. Liefern zwei Borelmaße auf dem R n dasselbe Integral für alle
glatten Funktionen mit kompaktem Träger, so stimmen sie überein. Hinweis:
Man verwende 6.8.4 und 6.7.1. Verwendet man 6.7.3, so folgt dieselbe Aussage
sogar für Borelmaße auf beliebigen offenen Teilmengen eines R n .
Proposition 6.8.6 (Nützliche Nullmengen). Ist U ⊂◦ R k offen, k < n
und ϕ : U → R n stetig differenzierbar, so ist ϕ(U) eine Nullmenge in R n .