Analysis

710 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
denn nun unsere Darstellung erzeugt. Man beachte jedoch, daß weder der
Teilraum der differenzierbaren Vektoren abgeschlossen zu sein braucht noch
unser infinitesimaler Erzeuger stetig.
Definition 3.1.18. Eine lineare Selbstabbildung eines Hilbertraums heißt
selbstadjungiert genau dann, wenn sie ihre eigene Adjungierte ist. Ist in
Formeln H unser Hilbertraum und A : H → H unsere lineare Abbildung, so
heißt in Formeln ausgedrückt A selbstadjungiert genau dann, wenn gilt
〈Av, w〉 = 〈v, Aw〉 ∀v, w ∈ H
3.1.19. Eine lineare Selbstabbildung eines Hilbertraums heißt schiefadjungiert
genau dann, wenn sie das Negative ihrer Adjungierten ist. Eine lineare
Abbildung S ist demnach schiefadjungiert genau dann, wenn i S selbstadjungiert
ist.
Proposition 3.1.20. Ist (ρ, H) eine unitäre Darstellung von R, in der sämtliche
Vektoren differenzierbar sind, so ist ihr infinitesimaler Erzeuger S stetig
und schiefadjungiert und für alle t ∈ R mit der Exponentialfunktion von Operatoren
aus II.7.5.23 gilt
ρ(t) = exp(tS)
Beweis. Sicher gilt ganz allgemein für alle differenzierbaren Vektoren v, w
unserer Darstellung die Formel
ρ(t)v − v
〈Sv, w〉 = lim , w = lim v,
t→0 t
t→0
ρ(−t)w − w
= −〈v, Sw〉
t
Sind alle Vektoren von H differenzierbar, in Formeln H 1 = H, so ist demnach
S : H → H eine schiefadjungierte lineare Abbildung. Die Stetigkeit von
S folgt damit aus der im Anschluß bewiesenen Proposition 3.2.1, nach der
schlicht alle selbstadjungierten und damit natürlich auch alle schiefadjungierten
Selbstabbildungen eines Hilbertraums stetig sind. Damit folgt dann, daß
für alle v ∈ H die Abbildung t ↦→ exp(−tS)ρ(t)v differenzierbar ist und die
Ableitung Null hat, wie der Leser in der anschließenden Übung 3.1.22 selbst
ausarbeiten mag. Nach II.7.2.11 ist diese Abbildung also konstant und die
Proposition ist bewiesen.
3.1.21. Um unitäre Darstellungen von Geradengruppen zu verstehen, gilt
es also, schiefadjungierte oder äquivalent selbstadjungierte Operatoren zu
studieren, und damit werden wir uns nun zunächst beschäftigen.