Analysis

614 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Rand alias mit leerem Rand das Integral auf der linken Seite verschwinden
muß, in Formeln ∂M = ∅ ⇒ M dω = 0.
Vorschau 7.8.4. Später werden wir lernen, was eine “abstrakte Mannigfaltigkeit”
und eine “Differentialform auf einer abstrakten Mannigfaltigkeit” ist
und wie man solche Differentialformen ableitet und k-Formen über orientierte
k-Mannigfaltigkeiten integriert. In dieser Allgemeinheit gilt dann dieselbe
Formel für eine beliebige stetig differenzierbare k-Form ω mit kompaktem
Träger auf einer beliebigen orientierten (k + 1)-Mannigfaltigkeit M.
Beispiel 7.8.5 (Satz von Stokes im Fall einer Flußdichte). Sei X ein
dreidimensionaler orientierter reeller affiner Raum und K ⊂ X eine kompakte
orientierte dreidimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand alias ein
Körper wie etwa eine massive Kugel oder ein massiver Eisenring, den wir
uns aber nur als wohlbestimmte Region in X denken, die durchaus von Gas
durchströmt wird. Der Rand ∂K ist dann eine Fläche, etwa eine Kugelschale
oder die Oberfläche unseres Rings. Sei nun ω die 2-Form der Flußdichte eines
bewegten Gases wie in 7.2.5. Nach 7.4.17 beschreibt das Integral von ω über
∂K die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall in einer durch
die Orientierung bestimmten Richtung durch unsere Fläche ∂K hindurchtritt.
Nach 7.6.4 beschreibt die 3-Form dω an jeder Stelle für je drei kleine
Vektoren die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall aus dem
entsprechenden kleinen Parallelpiped entweicht oder in dieses einströmt, je
nach Vorzeichen. Nach 7.4.17 beschreibt das Integral über K dieser 3-Form
die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall aus der Region K
entweicht oder in diese einströmt, je nach Vorzeichen. Der Satz von Stokes besagt
dann schlicht, daß diese Gesamtmasse dieselbe ist wie die Gesamtmasse
an Gas, die im gegebenen Zeitintervall durch die Oberfläche ∂K hindurchtritt.
Beispiel 7.8.6. Jedes kompakte reelle Intervall M = [a, b] mit a < b ist
eine eindimensionale berandete Untermannigfaltigkeit von R und erbt von
R eine Orientierung. Sein Rand ist die nulldimensionale Mannigfaltigkeit
∂M = {a, b} und die induzierte Orientierung darauf gibt dem Punkt a das
Vorzeichen −1 und dem Punkt b das Vorzeichen +1. Eine Nullform ω auf M
ist schlicht eine Funktion G, ihr Differential ist dω = dG = G ′ (x) dx, und wir
erkennen, daß unser Satz von Stokes 7.8.1 in diesem Fall zum Hauptsatz der
Integral- und Differentialrechnung II.4.5.3 spezialisiert.
Beispiel 7.8.7. Wir kommen nochmal auf unser Integral über die obere Hemisphäre
H der 2-Form x 2 dx ∧ dy aus 7.5.5 zurück, wobei unsere Orientierung
der oberen Hemisphäre unter der Projektion auf die Ebene die übliche Orientierung
des R 2 entsprach. Nun haben wir das Glück, x 2 dx∧dy = −d(x 2 y dx)
schreiben zu können. Der Rand von H ist dann der im Gegenuhrzeigersinn