Analysis

13. STETIGE DARSTELLUNGEN VON LIE-GRUPPEN 1125
für X ∈ g = TeG mit Xr seine Fortsetzung zu einem rechtsinvarianten
Vektorfeld auf G, so gilt für alle f ∈ C ∞ (G) die Formel
Xf = −Xrf
Beweis. Ist eine stetige Abbildung f : G → C ein glatter Vektor der linksregulären
Darstellung C(G), so muß auch die Verknüpfung g ↦→ ´gf ↦→ (´gf)(e) =
f(g −1 ) glatt sein als Verknüpfung der glatten Abbildung G → C(G) mit
dem Auswerten am neutralen Element, einer stetigen linearen Abbildung
C(G) → C. Ist umgekehrt f : G → C glatt und bezeichnet Xr die Fortsetzung
von X ∈ TeG zu einem rechtsinvarianten Vektorfeld auf G, so behaupten
wir, daß die Richtungsableitung Xf existiert und gegeben wird durch
Xf = −Xrf. Um das nachzuweisen müssen wir nur prüfen, daß gilt
f((exp tX)
lim
t→0
−1g) − f(g)
t
= (−Xrf)(g)
im Sinne gleichmäßiger Konvergenz für g aus einem beliebigen festen Kompaktum
in G. Das folgt jedoch aus 11.2.24. Nach 13.2.6 sind damit alle glatten
Funktionen auch glatte Vektoren der linksregulären Darstellung.
Übung 13.2.9. Gegeben ein homogener Raum X einer Liegruppe G sind
die glatten Vektoren in der Darstellung C(X) der stetigen Funktionen auf
X genau die glatten Funktionen, C(X) ∞ = C ∞ (X), und die Wirkung von
A ∈ Lie G auf einer Funktion fällt zusammen mit dem Negativen der Wirkung
desjenigen glatten Vektorfelds  auf X, das gegeben wird durch Âx =
(de(·x))(A) für (·x) : G → X das “Anwenden auf x”. Gegeben ein endlichdimensionales
G-äquivariantes Vektorraumbündel auf X sind allgemeiner die
glatten Vektoren im Raum seiner stetigen Schnitte genau die glatten Schnitte.
Hinweis: Man fasse diese Räume von Schnitten auf als Teilräume in einem
Raum von Funktionen auf G.
Satz 13.2.10 (Dichtigkeit der glatten Vektoren). In einer von-Neumann-
Darstellung einer Liegruppe liegen die glatten Vektoren stets dicht.
Beweis. Sei G unsere Liegruppe und µ ein fest gewähltes linksinvariantes
Haarmaß auf G. Gegeben eine Umgebung U eines Vektors v ∈ V finden wir
mit denselben Argumenten wie beim Beweis von 11.10.8 eine glatte Funktion
mit kompaktem Träger f ∈ C ∞ c (G) mit f ∗µ v ∈ U. Es reicht also, f ∗µ v
als glatten Vektor zu entlarven. Aber ist Ω ⊂◦ G eine offene Umgebung des
neutralen Elements mit kompaktem Abschluß, Ω, so ist K = Ω · (supp f)
kompakt in G und die Verknüpfung
G → C(G) → C(K) → V