Analysis

132 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Korollar 2.5.23. Sei ak eine Reihe mit nichtverschwindenden Gliedern.
Gilt limk→∞ |ak+1/ak| < 1, so konvergiert die Reihe ak absolut.
Beweis. Klar nach dem Quotientenkriterium 2.5.21.
Definition 2.5.24. Eine Familie (ai)i∈I von reellen Zahlen heißt summierbar
mit Summe s und man schreibt
ai = s
i∈I
genau dann, wenn es für jede Umgebung U von s es eine endliche Teilmenge
IU ⊂ I gibt derart, daß für jedes endliche J mit IU ⊂ J ⊂ I gilt
ai ∈ U
i∈J
Diese Definition ist durchaus für s ∈ R sinnvoll, wir nennen unsere Familie
jedoch nur im Fall s ∈ R summierbar.
Ergänzung 2.5.25. Mir gefällt diese Definition besonders gut, da darin von
einer Reihenfolge der Summanden erst gar nicht die Rede ist. In der folgenden
Übung dürfen Sie zeigen, daß die in der vorhergehenden Definition erklärte
Summierbarkeit im wesentlichen gleichbedeutend zu absoluter Konvergenz
ist. Später, wenn wir auch in Vektorräumen summieren, erweist sich jedoch
das Analogon 7.5.11 der Summierbarkeit als der nützlichere Begriff.
Übung 2.5.26. Man zeige, daß in einer summierbaren Familie von reellen Zahlen
nur für höchstens abzählbar viele Indizes i ∈ I das entsprechende ai von
Null verschieden sein kann. Hinweis: Sonst gäbe es ein n ≥ 1 derart, daß für
unendlich viele i gälte |ai| > 1/n. Man zeige dann weiter, eine Familie von
reellen Zahlen summierbar ist genau dann, wenn für eine und jede Abzählung
ihrer von Null verschiedenen Glieder die so entstehende Reihe absolut
konvergiert, und daß dann die Summe unserer Familie der Grenzwert der
entsprechenden Reihe ist.
Ergänzende Übung 2.5.27. Gegeben eine summierbare Familie von reellen
Zahlen (ai)i∈I zeige man, daß auch für eine beliebige Teilmenge J ⊂ I
die Familie (ai)i∈J summierbar ist, und daß für eine beliebige Zerlegung
I =
k∈K I(k) von I in eine Vereinigung von paarweise disjunkten Teilmengen
I(k) gilt
i∈I ai =
k∈K (i∈I(k)
ai). Weiter zeige man für jede
aufsteigende Familie von Teilmengen I0 ⊂ I1 ⊂ . . . mit Vereinigung I die
Formel
i∈I ai
= limn→∞ i∈In ai. Diese Aussagen werden sich im übrigen
als Speziallfälle des Satzes von Fubini IV.6.6.18 und des Satzes über dominierte
Konvergenz IV.6.5.10 aus der Theorie des Lebesgue-Integrals erweisen.