Analysis

1406 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
(2) Als nächstes prüfen wir, daß das unendliche Produkt aus dem zweiten
Satz in den in 3.3.3 vorgegebenen Rahmen fällt, daß also die Partialsummen
der Reihe
∞
e −z/k
1 + z
k
k=1
− 1
kompakt konvergieren. Dazu beachten wir, daß nach der Potenzreihenentwicklung
der Exponentialfunktion gilt
1 + t − e t = t 2 f(t)
für eine holomorphe Funktion f : C → C. Wählen wir also ein Kompaktum
K ⊂ C, so finden wir eine Konstante C ∈ R mit
|1 + (z/k) − e z/k | ≤ C/k 2
für alle z ∈ K und alle natürlichen Zahlen k ≥ 1, und für das Produkt der linken
Seite mit | e −z/k | gilt offensichtlich eine Abschätzung derselben Gestalt,
nur möglicherweise mit größerem C. Nun zeigt 3.3.3, daß die Formel im Satz
eine meromorphe Funktion g : C → C definiert mit einfachen Polstellen an
allen nichtpositiven ganzen Zahlen und keinen weiteren Pol- oder Nullstellen.
(3) Als letztes prüfen wir, daß die Partialprodukte Γn in unserer Produktentwicklung
im zweiten Satz bis auf einen kompakt gegen die konstante Funktion
Eins konvergierenden Korrekturterm genau die Glieder unserer Funktionenfolge
aus dem ersten Satz sind. Formen wir in der Tat die Partialprodukte
etwas um, so ergibt sich
Γn(z) = e −γz z −1 n
ν=1
ν+z −1 z/ν e ν
−γz n!
= e z(z+1)...(z+n) exp n ν=1
=
1 z ν
n! nz z(z+1)...(z+n) exp n 1
ν=1 ν − log(n) − γ z
Der letzte Faktor strebt nun für n → ∞ kompakt gegen 1, womit beide Sätze
bewiesen wären.
3.4.6. Aus den Produktentwicklungen 3.4.4 und 3.3.1 folgt sofort die Gleichheit
von meromorphen Funktionen
Γ(z)Γ(1 − z) = π
sin πz
und insbesondere die Identität Γ(1/2) = √ π.