Analysis

6. STETIGKEIT IN MEHREREN VERÄNDERLICHEN 233
6.2.11. Unter einer Umgebungsbasis eines Punktes versteht man eine Menge
von Umgebungen besagten Punktes derart, daß jede seiner Umgebungen
mindestens eine Umgebung unseres Systems umfaßt. Zum Beispiel bilden alle
ε-Umgebungen eines Punktes eine solche Umgebungsbasis. Um die Stetigkeit
einer Abbildung f in einem Punkt p nachzuweisen, müssen wir offensichtlich
nur für alle Mengen aus einer Umgebungsbasis seines Bildes f(p) prüfen, daß
es jeweils eine Umgebung von p gibt, die dahinein abgebildet wird. Gleichbedeutend
zur Stetigkeit einer Abbildung f im Punkt p ist also insbesondere
die Forderung, daß es für jedes ε > 0 ein δ = δε > 0 gibt derart, daß gilt
f(B(p; δ)) ⊂ B(f(p); ε).
Beispiel 6.2.12. Einfache Beispiele für stetige Abbildungen sind Einbettungen
von einem Teilraum, konstante Abbildungen, oder auch die Projektion eines
R n auf eine Koordinate. In diesen Fällen können wir einfach δ = ε nehmen.
Beispiel 6.2.13. Als etwas kompliziertere Beispiele bemerken wir, daß die
Addition und die Multiplikation R 2 → R, (x, y) ↦→ x+y bzw. (x, y) ↦→ xy
stetig sind. Das ist im Wesentlichen die Aussage der ersten beiden Teile von
Lemma 2.1.37.
6.2.14 (Partiell stetig impliziert nicht stetig). Es gibt Funktionen f :
R 2 → R derart, daß sowohl x ↦→ f(x, b) als auch y ↦→ f(a, y) stetig sind
für alle b bzw. alle a, daß aber dennoch die Funktion f selbst nicht stetig
ist. Als Beispiel betrachte man die Funktion mit (x, y) ↦→ xy/(x 2 + y 2 ) für
(x, y) = (0, 0) und (0, 0) ↦→ 0. Sie ist nicht stetig am Nullpunkt nach dem anschließenden
Satz 6.2.15, da nämlich ihre Verknüpfung mit R → R 2 , t ↦→ (t, t)
nicht stetig ist bei t = 0. Die Stetigkeit von t ↦→ (t, t) hinwiederum mag man
aus der Komponentenregel 6.2.18 folgern. Der Anschauung mag die Erkenntnis
helfen, daß unsere merkwürdige Funktion, wenn man vom Ursprung selbst
einmal absieht, auf allen Geraden durch den Ursprung konstant ist. Auf den
beiden Koordinatenachsen ist unsere Funktion konstant Null, auf allen anderen
Geraden durch den Ursprung jedoch nimmt sie nur am Ursprung den
Wert Null an und sonst konstant einen von Null verschiedenen Wert.
Satz 6.2.15. Jede Verknüpfung stetiger Abbildungen ist stetig.
Beweis. Seien f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen zwischen metrischen
Räumen und p ∈ X ein Punkt. Wir zeigen genauer: Ist f stetig bei p und g
stetig bei f(p), so ist (g ◦ f) stetig bei p. Ist in der Tat g stetig bei f(p), so
finden wir für jede Umgebung U von g(f(p)) eine Umgebung U ′ von f(p) mit
g(U ′ ) ⊂ U. Ist zusätzlich f stetig ist bei p, finden wir für diese Umgebung
U ′ von f(p) weiter eine Umgebung U ′′ von p mit f(U ′′ ) ⊂ U ′ . Damit haben
wir aber auch eine Umgebung U ′′ von p gefunden mit (g ◦ f)(U ′′ ) ⊂ U.