Analysis

5. UNAUSGEGORENES ZUR FUNKTIONENTHEORIE 1439
Satz 5.1.33 (Körpererweiterungen und Topologie). 1. Gegeben eine
zusammenhängende endliche verzweigte Überlagerung p : X → P 1 C
ist die Teilmenge M(X) ⊂ Topf(X, C) ein Teilring und sogar ein Körper.
2. Ist q : Y → P 1 C eine weitere endliche verzweigte Überlagerung und
f : Y → X ein “Morphismus von Überlagerungen” alias eine stetige
Abbildung mit p ◦ f = q, so induziert das Zurückholen mit f einen
Ringhomomorphismus M(X) → M(Y ).
3. Der Funktor X ↦→ M(X) ist eine Äquivalenz von Kategorien
⎧
⎨
⎩
Endliche verzweigte
zusammenhängende
Überlagerungen von P 1 C
⎫
⎬
⎭
∼
→
⎧
⎨
⎩
Endliche
Köpererweiterungen
von C(T )
5.1.34. Den ersten Teil dieses Satzes zeigen wir gleich. Der zweite Teil ist
offensichtlich. Der Schlüssel zum Beweis des dritten Teils ist die Theorie der
sogenannten “Riemann’schen Flächen”. Im Rahmen dieser Theorie zeigt man
feiner, daß es für jede endliche verzweigte Überlagerung X → P 1 C genau eine
Struktur als Riemann’sche Fläche auf dem topologischen Raum X gibt derart,
daß unsere Überlagerungsabbildung ein Morphismus von Riemann’schen
Flächen wird, und daß unser M(X) dann genau der Ring der meromorphen
Funktionen auf X ist. Wir deuten im folgenden nur an, wie man mit Funktionentheorie
und etwas Topologie zeigen kann, daß unser Funktor zumindest
volltreu ist.
Beweis. Für den ersten Teil reicht es anzunehmen, daß p : X → P 1 C eine
stetige Abbildung von einem zusammenhängenden topologischen Raum X
nach P 1 C ist mit endlichen Fasern und unendlichem Bild. Zunächst zeigen
wir unter diesen Annahmen, daß alle von Null verschiedenen Elemente von
M(X) bereits Einheiten von Topf(X, C) sind, in Formeln
M(X)\0 ⊂ Topf(X, C) ×
Gegeben α ∈ M(X) und P ∈ C(T )[A]\0 mit P (α) = 0 sei dazu ak ∈ C(T )\0
der Koeffizient der tiefsten in P vorkommenden Potenz von A. Ist E ⊂ P 1 C
eine endliche Teilmenge, außerhalb derer alle Koeffizienten von P definiert
sind und so daß α einen stetigen Repräsentanten auf X\p −1 (E) hat, und hat
außerdem ak keine Nullstelle außerhalb E, so ist die Nullstellenmenge von α
in X\p −1 (E) offensichtlich nicht nur abgeschlossen, sondern auch offen. Im
Fall von zusammenhängendem X hat nach IV.3.4.16 also α ∈ M(X), wenn es
nicht identisch verschwindet, höchstens endlich viele Nullstellen, und dann ist
⎫
⎬
⎭
opp