Analysis

INHALTSVERZEICHNIS 5
7.4 Definition von Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . 279
7.5 Vollständigkeit und Exponential von Matrizen . . . . . 285
7.6 Eigenschaften von Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . 290
III Analysis mit komplexen Zahlen 301
1 Komplexe Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
1.1 Definition und erste Eigenschaften . . . . . . . . . . . . 303
1.2 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . 311
1.3 Integration von vektorwertigen Funktionen . . . . . . . 312
1.4 Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . 316
1.5 Komplexe Differenzierbarkeit* . . . . . . . . . . . . . . 319
2 Lösung einiger Schwingungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . 325
2.1 Gedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 325
2.2 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung . . . . 329
2.3 Gekoppelte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 330
2.4 Angeregte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
3 Grundlegendes zu Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
3.1 Eindeutigkeit der Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . 335
3.2 Der Satz von Stone-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . 336
3.3 Konvergenz der Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . . 343
IV Funktionen mehrerer Veränderlichen 347
1 Ableitungen in mehreren Veränderlichen . . . . . . . . . . . . 349
1.1 Partielle Ableitungen und Gradient . . . . . . . . . . . 349
1.2 Das Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
1.3 Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
1.4 Weitere Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
1.5 Differenzierbarkeit über partielle Ableitungen . . . . . 367
2 Mehrfache Integrale und Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . 371
2.1 Integration über kompakte Quader . . . . . . . . . . . 371
2.2 Taylorentwicklung in mehreren Veränderlichen . . . . . 376
2.3 Rechnen mit Approximationen . . . . . . . . . . . . . . 379
2.4 Maxima und Minima in mehreren Veränderlichen . . . 382
3 Wegintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
3.1 Vektorfelder und Kovektorfelder . . . . . . . . . . . . . 388
3.2 Gradienten in krummlinigen Koordinaten* . . . . . . . 401
3.3 Wegintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
3.4 Wegzusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
3.5 Homotopie von Wegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
3.6 Rotation und Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
4 Umkehrsatz und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 436