Analysis

380 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Definition 2.3.2. Seien f, g : D → R m zwei auf einer Teilmenge D ⊂ R n
definierte Abbildungen. Sei p ∈ D ein Punkt und d ∈ N eine natürliche Zahl.
Wir sagen, f und g stimmen bei p überein bis zur Ordnung d und
schreiben
f ∼ d p g
genau dann, wenn gilt f(p + h) − g(p + h) = |h| d ε(h) für eine Funktion ε, die
stetig ist bei h = 0 mit Funktionswert ε(0) = 0.
2.3.3. Ist p ∈ D ein Häufungspunkt von D, so können wir das umschreiben
zur Forderung, daß gilt f(p) = g(p) und
f(x) − g(x)
lim
x→p |x − p| d
= 0
2.3.4. Natürlich stimmen zwei R m -wertige Funktionen bis zu einer gewissen
Ordnung überein genau dann, wenn alle ihre Komponenten bis zu der entsprechenden
Ordnung übereinstimmen. Schreiben wir also f = (f1, . . . , fm)
und g = (g1, . . . , gm), so gilt
f ∼ d p g ⇔ fj ∼ d p gj ∀j
Offensichtlich folgt auch aus f ∼ d p g und g ∼ d p h schon f ∼ d p h. Sind weiter
P, Q : R n → R m polynomiale Abbildungen vom Grad ≤ d und ist D ⊂◦ R n
offen, so folgt aus P ∼ d p Q schon P = Q.
2.3.5. Der Satz über die Taylorentwicklung 2.2.5 liefert uns für d-mal stetig
partiell differenzierbares f die eindeutig bestimmte polynomiale Abbildung P
vom Grad ≤ d mit P ∼ d p f. Genauer besagt unser Satz, daß diese polynomiale
Abbildung P = (P1, . . . , Pm) dadurch charakterisiert wird, daß die partiellen
Ableitungen der Polynome Pj bis zur Ordnung d bei p denselben Wert
annehmen wie die entsprechenden partiellen Ableitungen der Funktionen fj.
Satz 2.3.6 (Rechnen mit Approximationen). Seien D ⊂ R n , E ⊂ R m
Teilmengen und f : D → R m , g : E → R l Abbildungen mit f(D) ⊂ E.
Gegeben p ∈ D und polynomiale Abbildungen P, Q mit f ∼ d p P und g ∼ d f(p) Q
folgt
g ◦ f ∼ d p Q ◦ P
2.3.7. Im Fall d = 1 ist die Aussage des Satzes äquivalent zur Kettenregel in
mehreren Veränderlichen. Im Fall d = 0 bedeutet sie schlicht die Stetigkeit
der Verknüpfung bei p, es reicht also, den Satz für d ≥ 1 zu beweisen. Dem
eigentlichen Beweis geht ein Lemma voraus.