Analysis

484 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Funktionen f = (f1, . . . , fk) : R → R k gesucht werden derart, daß eine Gleichung
der obigen Gestalt gilt, die nun aber eine vektorwertige Gleichung
meint mit einer vorgegebenen Abbildung C : R kn+1 → R k .
5.1.3 (Reduktion auf Systeme erster Ordnung). Die Betrachtung von
Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen erlaubt uns zumindest für
Fragen des allgemeinen Lösungsverhaltens die Beschränkung auf den Fall
erster Ordnung. Um zu zeigen, wie diese Reduktion funktioniert, betrachten
wir beispielhaft den Fall einer Gleichung dritter Ordnung
f ′′′ (t) = C(t, f(t), f ′ (t), f ′′ (t))
Jede Lösung f liefert sicher eine Abbildung φ : R → R 3 vermittels der
Vorschrift φ(t) = (f(t), f ′ (t), f ′′ (t)), und natürlich gilt dann
φ ′ 1(t) = φ2(t)
φ ′ 2(t) = φ3(t)
φ ′ 3(t) = C(t, φ1(t), φ2(t), φ3(t))
Erklären wir nun also eine neue Abbildung B : R 4 → R 3 durch die Vorschrift
B(t, x, y, z) = (y, z, C(t, x, y, z)), so ist unser φ eine Lösung der Differentialgleichung
φ ′ (t) = B(t, φ(t))
Umgekehrt zeigt man leicht, daß für jede Lösung φ : R → R 3 dieses Systems
von Differentialgleichungen erster Ordnung die erste Komponente φ1(t) =
f(t) eine Lösung unserer ursprünglichen Gleichung dritter Ordnung liefert.
In derselben Weise kann auch im Allgemeinen die Frage nach der Existenz
und Eindeutigkeit der Lösungen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen
höherer Ordnung auf den Fall von Systemen erster Ordnung zurückgeführt
werden. Anschaulich mag man sich dann B als ein zeitabhängiges
Vektorfeld auf dem R n denken, das jedem Ort x ∈ R n zu jedem Zeitpunkt
t ∈ R einen Vektor B(t, x) ∈ R n zuordnet. In dieser Anschauung beschreibt
eine Lösung φ : R → R n die Bewegung eines Teilchens, das zu jedem Zeitpunkt
t die für seinen Ort zu diesem Zeitpunkt durch unser zeitabhängiges
Vektorfeld B vorgegebene Geschwindigkeit hat.
5.1.4 (Reduktion auf den zeitunabhängigen Fall). Gegeben B : R n+1 →
R n löst eine differenzierbare Abbildung φ : R → R n unsere Differentialgleichung
φ ′ (t) = B(t, φ(t))
genau dann, wenn die Abbildung γ : R → R n+1 , t ↦→ (t, φ(t)) die Differentialgleichung
γ ′ (t) = A(γ(t))