Analysis

854 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
4.1.11. Wir müssen zeigen, daß solch eine größte Struktur auch tatsächlich
existiert. Dazu geben wir sie einfach explizit an: Als Topologie nehmen wir
die Finaltopologie, U ⊂ X ist also offen genau dann, wenn seine Urbilder
ϕ −1
i (U) offen sind in Yi für alle i ∈ I. Als reguläre Funktionen auf U ⊂◦ X
nehmen wir dann alle Funktionen f : U → k derart, daß f ◦ ϕi regulär ist
auf ϕ −1
i (U) für alle i ∈ I. Es scheint mir nun klar, daß das eine Struktur als
k-geringter Raum auf X mit den geforderten Eigenschaften ist, und dann ist
es sicher auch die größte derartige Struktur.
Definition 4.1.12. Ist ψ : Y → X ein Morphismus von k-geringten Räumen
und trägt X die finale Struktur, so nennen wir ψ final.
Übung 4.1.13. Für m ≤ n ist die Projektion auf die ersten Koordinaten
R n → R m final in Bezug auf die in 4.1.5 erklärten C 1 -Strukturen R-geringter
Räume.
Satz 4.1.14 (Universelle Eigenschaft der finalen Struktur). Seien ϕi :
Yi → X wie in 4.1.10. Versehen wir X mit der finalen Struktur, so ist eine
Abbildung ψ : X → Z in einen weiteren k-geringten Raum Z ein Morphismus
genau dann, wenn alle ψ ◦ ϕi : Yi → Z Morphismen sind.
Beweis. Das folgt direkt aus unserer expliziten Beschreibung der finalen
Struktur in 4.1.11.
Übung 4.1.15 (Transitivität finaler Familien). Seien gij : Zij → Yi und
fi : Yi → X Familien von k-geringten Räumen und Morphismen. Tragen die
Yi die finalen Strukturen für die gij und trägt X die finale Struktur für die
fi, so trägt X auch die finale Struktur für die figij. Trägt andererseits X
die finale Struktur bezüglich der figij, so trägt X auch die finale Struktur
bezüglich der fi.
4.1.16. Ein Morphismus f : Y → X von k-geringten Räumen heißt final genau
dann, wenn X die finale Struktur in Bezug auf die einelementige Familie
f trägt. Zum Beispiel ist die Identität auf einem k-geringten Raum stets final.
4.1.17. Übung 4.1.15 besagt unter anderem, daß die Verknüpfung von zwei
finalen Morphismen stets final ist, und daß die Verknüpfung f ◦ g von zwei
Morphismen nur dann final sein kann, wenn f final ist. Insbesondere ist jeder
Morphismus final, der ein Rechtsinverses alias einen Schnitt besitzt, d.h. für
den es einen Morphismus s gibt mit f ◦ s = id.
4.1.18. Gegeben eine Familie k-geringter Räume (Yi) versehen wir ihre disjunkte
Vereinigung Yi mit der finalen Struktur bezüglich der Inklusionen,
wenn nichts anderes gesagt wird.