Analysis

322 KAPITEL III. ANALYSIS MIT KOMPLEXEN ZAHLEN
1.5.16. In VIII.1.8.15 werden wir zeigen, daß eine injektive komplex differenzierbare
Funktion mit offenem Definitionsbereich stets offenes Bild und eine
stetige Umkehrung hat. Ein Teil der Bedingungen an unsere Funktion sind
also eigentlich überflüssig und dienen nur dazu, den Beweis zu vereinfachen.
Beweis. Nach unseren Annahmen gibt es eine stetige Funktion ohne Nullstelle
ϕ : U → C mit f(z) − f(p) = (z − p)ϕ(z) und ϕ(p) = f ′ (p). Setzen wir
hier z = f −1 (w), so ist ψ = 1/(ϕ ◦ f −1 ) : f(U) → C eine stetige Funktion
mit (w − q)ψ(w) = f −1 (w) − f −1 (q) und ψ(q) = 1/f ′ (p).
Beispiel 1.5.17. Das Quadrieren liefert eine Bijektion zwischen der Halbebene
aller komplexen Zahlen mit positivem Realteil und der “geschlitzten
Zahlenebene” C\R≤0. Die Umkehrfunktion zu dieser Bijektion ist also eine
komplex differenzierbare Funktion auf der geschlitzten Zahlenebene, die wir
√ z notieren und die nach 1.5.15 differenzierbar ist mit Ableitung 1/(2 √ z).
Lemma 1.5.18. Die komplexe Exponentialfunktion ist komplex differenzierbar
und stimmt auf der ganzen komplexen Zahlenebene mit ihrer eigenen
Ableitung überein.
Beweis. Der Beweis des reellen Analogons II.4.2.8 kann wortwörtlich übernommen
werden.
Beispiel 1.5.19. Ist U ⊂◦ C eine offene Teilmenge derart, daß die Exponentialfunktion
eine Injektion mit offenem Bild und stetiger Umkehrfunktion
log : exp(U) → C liefert, so nennt man log einen Zweig des Logarithmus.
Nach 1.5.15 ist jeder solche Zweig des Logarithmus komplex differenzierbar
mit Ableitung
log ′ (q) =
1
exp(log q)
= 1
q
Im Spezialfall U = R + (−π, π) i spricht man auch vom Hauptzweig des
Logarithmus, den wir bereits in 1.4.2 eingeführt und sogar noch auf die negative
reelle Achse fortgesetzt hatten, allerdings in nur noch partiell stetiger
Weise.
Übung 1.5.20. Man zeige, daß für alle z ∈ C mit |z| < 1 der Hauptzweig des
Logarithmus von 1 + z auch dargestellt werden kann durch die Potenzreihe
log(1 + z) = z − z2
2
+ z3
3
− . . .
Hinweis: Es reicht zu zeigen, daß für alle u ∈ C mit |u| = 1 das Einsetzen von
z = ut auf beiden Seiten dieselbe Funktion in t ∈ (−1, 1) liefert. Beide Seiten