Analysis

7. SPIEGELUNGSGRUPPEN 987
Zwei aufeinanderfolgende Alkoven s1 . . . si−1A und s1 . . . siA unserer Folge
werden nach 7.3.14 nur durch die Hyperebene s1 . . . si−1Hi getrennt. Es folgt
schon r ≥ d(A, wA). Wäre r > d(A, wA), so müßte unsere Folge von Alkoven
eine Hyperebene H ∈ H zweimal kreuzen, wir hätten also s1 . . . si−1Hi =
s1 . . . sj−1Hj mit r ≥ j > i ≥ 1. Daraus folgte aber Hi = si . . . sj−1Hj, mithin
si = si . . . sj−1sjsj−1 . . . si oder si+1 . . . sj−1 = si . . . sj und unsere Darstellung
wäre nicht kürzestmöglich.
4. Wir haben bereits gezeigt, daß W transitiv auf A operiert. Nach 3 folgt
aber aus wA = A schon w = id, also operiert W auch frei.
1. Für eine Spiegelung aus W , deren Spiegelebene nicht zu H gehörte, könnte
die Spiegelebene nach 7.2.4 nicht enthalten sein in der Vereinigung der
Hyperebenen aus H und müßte deshalb einen Alkoven aus A treffen. Dann
müßte unsere Spiegelung diesen Alkoven auf sich selbst abbilden. Nach 4 ist
aber die Identität das einzige Element von W , das einen Alkoven festhält.
Also besteht H bereits aus allen Spiegelebenen zu Spiegelungen von W .
Übung 7.3.15. Sei Q ∼ = Z n ein freier Z-Modul von endlichem Rang und
( , ) : Q × Q → Z eine positive definite Bilinearform. Man zeige, dass die
orthogonalen Spiegelungen an den orthogonalen Komponenten aller Vektoren
v ∈ Q mit (v, v) = 2 die Spiegelungen einer endlichen Spiegelungsgruppe
sind.
Korollar 7.3.16. Erzeugt eine Menge von affinen Spiegelungen eine affine
Spiegelungsgruppe, so ist jede Spiegelung dieser Spiegelungsgruppe konjugiert
zu einer Spiegelung aus besagter Menge.
Beweis. Sei S unsere Menge von Spiegelungen, W die davon erzeugte affine
Spiegelungsgruppe, und T ⊂ W die Menge aller Konjugierten zu Elementen
von S. Nach 7.3.13 ist T nun aber bereits die Menge aller Spiegelungen aus
der von T erzeugten Untergruppe von W .
Definition 7.3.17. Sei W eine affine Spiegelungsgruppe, A ein fester Alkoven
und S ⊂ W die Menge aller Spiegelungen an Wänden von A. Eine
kürzestmögliche Darstellung von w ∈ W als Produkt von Elementen von S
nennt man eine (in Bezug auf S) reduzierte Darstellung von w, und die
Länge einer reduzierten Darstellung heißt die Länge l(w) = lS(w) = lA(w)
von w.
7.3.18. In diesen Notationen haben wir in 7.3.13 also unter anderem gezeigt,
daß gilt lA(w) = d(A, wA). Weiter haben wir beim Beweis von 7.3.13 gezeigt,
daß gegeben s1, . . . , sr ∈ S Spiegelungen an Wänden Hi von A mit Produkt