Analysis

1196 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
Tangenten-Sekanten-Abbildung homotop in C × zum Weg ϕ : [ε, P ] → C ×
von Sekantenvektoren
ϕ(t) = γ(t) − γ(t − ε)
Der Weg ϕ hinwiederum ist konstant für t ∈ [P − ε, P ], so daß das Einschränken
auf das Intervall [ε, P − ε] seine Umlaufzahl um den Ursprung
nicht ändert. Der so eingeschränkte Weg ϕ ist nun seinerseits die Restriktion
auf die Diagonale der Abbildung
ψ : [ε, P − ε] 2 → C
(s, t) ↦→ γ(s) − γ(t − ε)
Auf dem Teil unseres Quadrats mit s ≥ t, also dem Teil unter oder schlimmstenfalls
auf der Diagonale, landet diese Abbildung ψ sogar in C × . Damit
ist unser auf das Intervall [ε, P − ε] eingeschränkte Weg ϕ in C × homotop
zur Verknüpfung des Wegs [ε, P − ε] → C × , s ↦→ γ(s) mit dem Weg
[ε, P − ε] → C × , t ↦→ γ(−ε) − γ(t − ε). In Worten ist ϕ in C × homotop
zur Verknüpfung eines Weges, der unter Vermeidung des Ursprungs auf oder
oberhalb der reellen Achse von einem Punkt mit positivem Realteil zu einem
Punkt mit negativem Realteil wandert, mit einem weiteren Weg, der in
derselben Weise aber nun in der unteren Halbebene zurückwandert. Nach ??
hat damit ϕ die Umlaufzahl 1 um den Ursprung. Schließlich bleibt nur noch,
von unserem Spezialfall auf den allgemeinen Fall zu schließen. Dazu wählen
wir unter den Punkten auf unserem Weg mit maximalem bzw. minimalen
Imaginärteile diejenigen mit maximalem Realteil, trennen unseren Weg an
diesen beiden Stellen auf und fügen jeweils ein horizontales Stück gleicher
und hinreichend großer Länge ein. Dabei ändert sich die Tangentenumlaufzahl
nicht, und wenn die eingefügten Stücke nur groß genug sind, erhalten
wir auch wieder eine Einbettung.