Analysis

2. SINGULÄRE STELLEN HOLOMORPHER FUNKTIONEN 1381
Definition 2.2.6. Der Koeffizient von (z − w) −1 in der Laurententwicklung
nach 2.1.19 einer holomorphen Funktion f(z) mit isolierter Singularität bei
w heißt das Residuum Res(f, w) = Resw f von f bei w. Ist die Funktion f
durch einen Ausdruck in einer komplexen Variablen gegeben, etwa als Ausdruck
in der Variablen z, so verwenden wir für das Residuum von f bei w in
Bezug auf z auch die Notation Resz=w f(z).
2.2.7. Nach 2.1.18 oder genauer dem Beweis dieser Aussage haben wir also
Res(f, w) = 1
f(z) dz
2πi
|z−w|=r
für jeden Radius r > 0 derart, daß unsere Funktion f mit Ausnahme der
singulären Stelle w auf einer Umgebung der abgeschlossenen Kreisscheibe
{z | |z − w| ≤ r} definiert ist und dort keine weiteren Singularitäten hat.
Die Bezeichnung als “Residuum”, lateinisierend für “Überbleibsel”, hat wohl
damit zu tun, daß diese Zahl den einzigen Term der Laurentreihe beschreibt,
der in diesem Zusammenhang beim Integrieren übrigbleibt.
2.2.8. Hat unsere Funktion f nur einen Pol erster Ordnung bei w, so läßt sich
g(z) = (z − w)f(z) stetig über z = w fortsetzen und wir haben offensichtlich
g(w) = Res(f, w). Läßt sich allgemeiner für irgendein n ∈ N die Funktion
g(z) = (z − w) n+1 f(z) stetig über z = w fortsetzen, so ist diese Fortsetzung
holomorph und ihre n-te Ableitung bei w liefert das Residuum von f bei w
vermittels der Identität g (n) (w) = n! Res(f, w), die man leicht mithilfe der
Laurententwicklung von f um w einsehen kann.
Satz 2.2.9 (Residuensatz). Ist U ⊂◦ C offen, P ⊂ U endlich, f : U\P → C
holomorph und γ ein geschlossener Weg in U\P , der in U zusammenziehbar
ist, so gilt
f(z) dz = 2πi
Um(γ, p) Res(f, p)
γ
p∈P
2.2.10. Integrieren wir also in Worten eine holomorphe Funktion mit endlich
vielen isolierten Singularitäten längs eines geschlossenen Weges, der in ihrem
Definitionsbereich vereinigt mit den singulären Stellen zusammenziehbar ist,
so ist das Wegintegral bis auf den Faktor 2πi die Summe der Residuen, jeweils
gewichtet mit der Umlaufzahl unseres Weges um die entsprechende singuläre
Stelle. Ist unser geschlossener Weg sogar bereits im Komplement U\P der
singulären Stellen zusammenziehbar, so verschwindet das Wegintegral nach
den Cauchy’schen Integralsatz, und der Residuensatz liefert auch Null für
den Wert der Integrals, da dann bereits alle Umlaufzahlen um Punkte aus P
Null sind. In ?? diskutieren wir auch noch eine etwas allgemeinere Version
für “in U nullhomologe Wege”.