Analysis

3. WEGINTEGRALE 415
3.4 Wegzusammenhang
Definition 3.4.1. Ist X ein topologischer Raum und sind x, y ∈ X Punkte,
so nennen wir eine stetige Abbildung γ : [a, b] → X mit γ(a) = x und γ(b) =
y einen Weg von x nach y. Ein topologischer Raum X heißt wegweise
zusammenhängend oder auch kurz wegzusammenhängend genau dann,
wenn er nicht leer ist und es für je zwei Punkte unseres Raums einen Weg
vom einen zum anderen gibt.
Übung 3.4.2. Auf jedem topologischen Raum X definiert man die Relation
W der “Wegverbindbarkeit” durch die Vorschrift, daß gilt xW y genau
dann, wenn es in X einen Weg von x nach y gibt. Man zeige, daß das eine
Äquivalenzrelation ist. Hinweis: Die Transitivität ergibt sich durch das
“Aneinanderhängen von Wegen” und die Stetigkeit der so entstehenden Wege
folgt mit II.6.5.35. Die Äquivalenzklassen für die Äquivalenzrelation der
Wegverbindbarkeit heißen die Wegzusammenhangskomponenten unseres
Raums. Man zeige, daß die Wegzusammenhangskomponenten eines topologischen
Raums offen sind genau dann, wenn jeder Punkt eine wegzusammenhängende
Umgebung besitzt.
Definition 3.4.3. Unter einem stückweise linearen Weg in einem reellen
Raum verstehen wir einen Weg, der aus endlich vielen Geradensegmenten zusammengesetzt
ist. Genauer und in Formeln heißt als ein Weg γ : [a, b] → X
in einem reellen Raum stückweise linear genau dann, wenn es eine Unterteilung
a = a0 < a1 < . . . < an = b gibt derart, daß γ auf jedem Teilintervall
[ai−1, ai] mit der Restriktion einer affinen Abbildung R → X übereinstimmt.
3.4.4. Im Lichte unserer allgemeinen Definitionen müßten wir eigentlich eher
von einem “stückweise affinen Weg” reden, aber das tut kein Mensch.
Lemma 3.4.5. In einer wegzusammenhängenden offenen Teilmenge eines
normierten reellen Raums lassen sich je zwei Punkte auch durch einen stückweise
linearen Weg verbinden.
Beweis. Sei A ⊂◦ V unsere Teilmenge und seien x, y ∈ A gegeben. Nach
Annahme gibt es einen Weg γ : [a, b] → A von x nach y. Ohne Beschränkung
der Allgemeinheit dürfen wir A = V annehmen. Dann ist der Abstand zum
Komplement von A nach II.6.2.22 eine stetige Funktion dV \A : V → R ohne
Nullstelle auf A und dV \A◦γ hat nach II.3.4.3 auf [a, b] ein Minimum ε > 0, als
da heißt, es gibt ε > 0 derart, daß alle Punkte aus γ([a, b]) mindestens den
Abstand ε zum Komplement von A haben. Andererseits ist γ gleichmäßig
stetig, wir finden also eine Unterteilung a = a0 ≤ a1 ≤ . . . ≤ an = b
unseres Intervalls mit γ(ai) − γ(ai−1) < ε für 1 ≤ i ≤ n. Ein zwischen den